SMF

Semi-linear Diffraction of conormalwawes

Semi-linear Diffraction of conormalwawes

Richard B. MELROSE, Antônio SÁ BARRETO, Maciej ZWORSKI
Semi-linear Diffraction of conormalwawes
  • Année : 1996
  • Tome : 240
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Nb. de pages : 132
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.365

Nous étudions la régularité conormale de solutions bornées d'équations semi-linéaires strictement hyperboliques dans des domaines à bord diffractif : $ Pu = f(x,u){\rm dans }X ,\ u\! \upharpoonright _{\partial X} = 0 , \ u \in L^\infty _{\operatorname {loc}}(X).$ Si $X_-\subset X$ et $X$ est le domaine d'influence de $X_-$, nous considérons des solutions $u$ telles que $\operatorname {\rm sing supp}(u)\cap X_- \cap \partial X = \emptyset $ ; de plus nous supposons que $u\upharpoonright _{X_-}$ est conormale par rapport à une hypersurface caractéristique lisse, le front entrant. Dans le cas de l'équation linéaire $f\cong 0,$ le support singulier de $u$ est contenu dans la réunion du front entrant et du front réfléchi obtenu par les lois de l'optique géométrique. Ces deux surfaces caractéristiques sont tangentes à l'ensemble des rayons rasants, le lieu des points où les bicaractéristiques entrantes sont tangentes au bord. Dans le cas semi-linéaire, nous démontrons que si de nouvelles singularités apparaissent alors elles apparaissent sur le demi-cône caractéristique au-dessus de l'ensemble des rayons rasants. En fait, le théorème de régularité conormale établi dans cet article est beaucoup plus précis. Pour illustrer notre propos, nous choisirons pour $P$ l'opérateur des ondes à coefficients constants et pour $X$ le produit de $\RR _t$ et de l'extérieur d'un obstacle strictement convexe. Alors $X_-= X \cap \{t< - T\}$. Comme donnée initiale, on pourra prendre une primitive locale de l'onde plane $\delta ( t - \langle x ,\omega \rangle )$ avec $T$ suffisamment grand. La géométrie de ce problème est figurée sur les schémas $1.1$ et $1.2$.

We study the conormal regularity of bounded solutions to semi-linear strictly hyperbolic equations on domains with diffractive boundaries : $Pu = f(x,u){\rm in }X ,\ u\! \upharpoonright _{\partial X} = 0 , \ u \in L^\infty _{\operatorname {loc}}(X).$ If $X_-\subset X$ and $X$ is the domain of influence of $X_-$ we consider solutions such that $\operatorname {\rm sing supp}(u)\cap X_- \cap \partial X = \emptyset $ and further suppose that $ u\!\upharpoonright _{X_-}$ is conormal with respect to a smooth characteristic hypersurface, the incoming front. For the linear equation, $f\cong 0,$ the singular support of $u$ is contained in the incoming front and the reflected front obtained using the rules of geometrical optics ; these two characteristic surfaces are tangent at the glancing set, the locus of points at which the incoming bicharactersitics are tangent to the boundary. We prove that in the semi-linear case the only new singularites which may occur appear on the characteristic half-cone over the glancing set. The actual conormal regularity result presented in the paper is considerably more precise. Our assumptions are best illustrated by taking for $P$ the constant coefficient wave equation with $X$ the product of $\RR _t$ and the exterior of a strictly convex obstacle. Then $X_-= X \cap \{t< - T\}$ and for the initial data one can take locally an anti-derivative of the plane wave $\delta ( t - \langle x ,\omega \rangle )$ with $T$ appropriately large. The geometry of this problem in two space dimensions is shown in Figures $1.1$ and $1.2$.

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