SMF

Transformations dilatantes de l'intervalle et théorèmes limites

Françoise DAL'BO et Marc PEIGNÉ
  • Année : 1996
  • Tome : 238
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Pages : 113-173
  • DOI : 10.24033/ast.363

Soit $\bar {g}_\varepsilon $ une perturbation de la métrique hyperbolique sur $M=\mathbb {H}^2/\mathrm {PSL}$, nous démontrons que le nombre de géodésiques fermées sur $(M,\bar {g}_\varepsilon )$ de longueur au plus $a$ est équivalent quand $a$ tend vers $+\infty $ à $e^{a\delta _\varepsilon }/a\delta _\varepsilon $ (où $\delta _\varepsilon $ est l'exposant critique de la série de Poincaré associée à $\mathrm {PSL}$). La démonstration de ce résultat repose sur un codage des géodésiques fermées de $(M,\bar {g}_\varepsilon )$ relié au développement en fractions continues des réels et sur l'utilisation d'un théorème du renouvellement harmonique nécessitant une étude spectrale précise de l'opérateur de transfert mis en jeu. Nous retrouvons également par cette méthode probabiliste la distribution asymptotique des constantes de Lévy des nombres quadratiques.

Let $\bar {g}_\varepsilon $ be a variation of the hyperbolic metric on $M=\mathbb {H}^2/\mathrm {PSL}$, we prove that the number of closed geodesics on $(M,\bar {g}_\varepsilon )$ with length less or equal to $a$ is equivalent to $e^{a\delta _\varepsilon }/a\delta _\varepsilon $ (where $\delta _\varepsilon $ is the critical exponant of the Poincaré serie associated with $\mathrm {PSL}$). The proof of this result is based on a coding of closed geodesics related to the continuous fractions expansion of the reals and on an harmonic renewal theorem which requires a precise description of the spectrum of the appropriate Perron-Fröbenius operator. Using this probabilistic method, we give a new proof of the asymptotic distribution of the Lévy constants of the quadratic numbers.

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