SMF

Transformations dilatantes de l'intervalle et théorèmes limites

Anne BROISE
  • Année : 1996
  • Tome : 238
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Pages : 1-109
  • DOI : 10.24033/ast.362

On fait ici un travail de synthèse sur les transformations dilatantes de l'intervalle ayant une partition finie ou dénombrable. On montre l'existence de mesures invariantes absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue pour une e de transformations dilatantes plus large que celle étudiée habituellement. Ensuite, on montre des théorèmes limites central et local, on donne la vitesse de convergence et des conditions d'annulation de la variance basées sur les points périodiques de la transformation. On précise les théorèmes limites obtenus par des théorèmes de grands écarts. Enfin on montre comment s'appliquent ces théorèmes sur divers exemples de transformations. Soit $\bar {g}_\varepsilon $ une perturbation de la métrique hyperbolique sur $M=\mathbb {H}^2/\mathrm {PSL}$, nous démontrons que le nombre de géodésiques fermées sur $(M,\bar {g}_\varepsilon )$ de longueur au plus $a$ est équivalent quand $a$ tend vers $+\infty $ à $e^{a\delta _\varepsilon }/a\delta _\varepsilon $ (où $\delta _\varepsilon $ est l'exposant critique de la série de Poincaré associée à $\mathrm {PSL}$). La démonstration de ce résultat repose sur un codage des géodésiques fermées de $(M,\bar {g}_\varepsilon )$ relié au développement en fractions continues des réels et sur l'utilisation d'un théorème du renouvellement harmonique nécessitant une étude spectrale précise de l'opérateur de transfert mis en jeu. Nous retrouvons également par cette méthode probabiliste la distribution asymptotique des constantes de Lévy des nombres quadratiques.

A synthesis on interval expanding maps is done. We prove the existence of invariant measures which are absolutely continued with respect to Lebesgue measure for a larger of expanding maps. Then we prove central and local limit theorems, we give the convergence rate and some conditions on the variance annulation based on the periodic points of the map. We precise these limit theorems by large deviation theorems. To conclude we show how to apply these theorems on various examples. Let $\bar {g}_\varepsilon $ be a variation of the hyperbolic metric on $M=\mathbb {H}^2/\mathrm {PSL}$, we prove that the number of closed geodesics on $(M,\bar {g}_\varepsilon )$ with length less or equal to $a$ is equivalent to $e^{a\delta _\varepsilon }/a\delta _\varepsilon $ (where $\delta _\varepsilon $ is the critical exponant of the Poincaré serie associated to $\mathrm {PSL}$). The proof of this result is based on a coding of closed geodesics related to the continuous fractions expansion of the reals and on an harmonic renewal theorem which requires a precise description of the spectrum of the appropriate Perron-Fröbenius operator. Using this probabilistic method, we give a new proof of the asymptotic distribution of the Lévy constants of the quadratic numbers.

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