Soit $ f: (X, \Delta ) \to Y $ une famille projective plate de paires nettement $F$-pures et log-canoniquement polarisées sur un corps algébriquement clos de caractéristique $p> 0 $ tel que $ p \nmid \mathrm {ind} (K_ {X / Y} + \Delta ) $. Nous montrons que $ K_{X / Y} + \Delta $ est nef et que $ f_* (\mathcal {O}_X (m (K_{X / Y} + \Delta ))) $ est un fibré vectoriel nef pour $ m \gg 0 $ et qu'il est assez divisible. Certains des résultats s'étendent également aux couples non log-canoniquement polarisés. La principale motivation de ces résultats est la projectivité de sous-espaces propres de l'espace des modules des paires stables en caractéristiques positives. D'autres applications incluent des nouvelles preuves algébriques des résultats de positivité en caractéristique nulle, et un cas particulier de sous-additivité de la dimension de Kodaira de caractéristique positive.