A l'aide de techniques probabilistes nous construisons explicitement la solution fondamentale du problème de Cauchy associé à l'équation $u_{t} -\frac 1{2} u_{xx}=\pm |u_{x}|$, lorsque la dimension d'espace $d$ est égale à $1$. Puis nous analysons le comportement en norme $L^p$ des solutions de cette équation pour une large e de données initiales. Le cas où $d\geq 2$ a été étudié aussi et fera l'objet d'une autre publication.