SMF

Sous-actions pour les difféomorphismes Anosov

Sub-actions for Anosov diffeomorphisms

Artur O. Lopes, Philippe Thieullen
  • Année : 2003
  • Tome : 287
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37D20
  • Pages : 135-146
  • DOI : 10.24033/ast.594
Nous montrons un théorème de type Livsic positif pour les $C^2$-difféomorphismes Anosov $f$ sur une variété compacte sans bord $M$ et des observables $A$ höldériennes. Étant donnée $A:M\rightarrow \mathbb {R}$, $\alpha $-höldérienne, nous montrons qu'il existe $V:M\rightarrow \mathbb {R}$, $\beta $-höldérienne, $\beta <\alpha $, et une mesure de probabilité $\mu $, $f$-invariante, telles que $ A\leq V\circ f-V + \int \! A\,d\mu . $ Nous appliquons cette inégalité pour montrer l'existence d'un ouvert $\mathcal {G}_\beta $ de fonctions $\beta $-höldériennes, $\beta $ petit, qui admet une unique mesure maximisante supportée par une orbite périodique. De plus, l'adhérence de $\mathcal {G}_\beta $ dans la topologie $\beta $-höldérienne contient toutes les fonctions $\alpha $-höldériennes, avec $\alpha $ proche de $1$.
We show a positive Livsic type theorem for $\mathcal {C}^2$ Anosov diffeomorphisms $f$ on a compact boundaryless manifold $M$ and Hölder observables $A$. Given $A:M\rightarrow \mathbb {R}$, $\alpha $-Hölder, we show there exist $V:M\rightarrow \mathbb {R}$, $\beta $-Hölder, $\beta <\alpha $, and a probability measure $\mu $, $f$-invariant such that $ A\leq V\circ f-V + \int \! A\,d\mu . $ We apply this inequality to prove the existence of an open set $\mathcal {G}_\beta $ of $\beta $-Hölder functions, $\beta $ small, which admit a unique maximizing measure supported on a periodic orbit. Moreover the closure of $\mathcal {G}_\beta $, in the $\beta $-Hölder topology, contains all $\alpha $-Hölder functions, $\alpha $ close to one.
difféomorphismes Anosov, mesures minimisantes
Anosov diffeomorphisms, minimizing measures