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Spetses déployés pour les groupes de réflexion primitifs

Split Spetses for Primitive Reflection Groups

Michel BROUÉ, Gunter MALLE, Jean MICHEL
Spetses déployés pour les groupes de réflexion primitifs
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  • Année : 2014
  • Tome : 359
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : Primary: 20G05; Secondary: 20C33, 20F36, 20F55
  • Nb. de pages : vi + 146
  • ISBN : 978-2-85629-781-0
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.934

Soit $W$ un groupe de réflexions spetsial exceptionnel agissant sur un espace vectoriel complexe $V$, i.e. un groupe $G_n$ (dans la notation de Shephard-Todd) pour $ n\in \{4,6, 8, 14, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 33,34,35,36,37\} \,. $ Nous décrivons comment calculer des données attachées au « spets » $ \mathbb G = (V,W)$ déployé correspondant, si nous connaissons les mêmes données pour tous les sous-spetses propres (la méthode est donc récursive). Les données déterminées ici sont l'ensemble $\mathrm {Uch}( \mathbb G)$ des « caractères unipotents » de $ \mathbb G$ et sa répartition en familles, ainsi que l'ensemble des valeurs propres de Frobenius associées. La détermination des matrices de Fourier reliant les caractères unipotents aux « faisceaux caractères unipotents « sera donnée dans un prochain article. Cette approche s'applique aussi bien à toutes les données de réflexions primitives irréductibles « presque tordues ». Notre principal résultat est que les données mentionnées ci-dessus existent et sont uniques (noter que les degrés unipotents cuspidaux ne sont déterminés qu'au signe près). Nous précisons la liste complète des axiomes utilisés. Dans ce but, nous exposons en détail quelques-uns des axiomes généraux des « spetses », généralisant (et parfois corrigeant) notre article Toward Spetses, in Transformation groups 4, 1999. Il est à noter que, pour appliquer la méthode inductive, nous devons considérer une e de données de réflexions plus générale que les données déployées irréductibles : celles dont la partie semi-simple est déployée, i.e. les données $(V,W\varphi )$ telles que $V=V_1\oplus V_2$ avec $W \subset {\mathrm {GL}}(V_1)$ et $\varphi |_{V_2} = {\rm Id.}$. Nous devons également considérer quelques données de réflexions non-exceptionnelles qui apparaissent comme sous-données paraboliques de données exceptionnelles.

Let $W$ be an exceptional spetsial irreducible reflection group acting on a complex vector space $V$, i.e. a group $G_n$ for $n \in \{ 4, 6, 8, 14, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37\}$ in the Shephard-Todd notation. We describe how to determine some data associated to the corresponding (split) “spets” $ \mathbb G = (V,W)$, given complete knowledge of the same data for all proper subspetses (the method is thus inductive). The data determined here are the set $\mathrm {Uch}( \mathbb G)$ of “unipotent characters” of $ \mathbb G$ and its repartition into families, as well as the associated set of Frobenius eigenvalues. The determination of the Fourier matrices linking unipotent characters and “unipotent character sheaves” will be given in another paper. The approach works for all split reflection cosets for primitive irreducible reflection groups. The result is that all the above data exist and are unique (note that the cuspidal unipotent degrees are only determined up to sign). We keep track of the complete list of axioms used. In order to do that, we explain in detail some general axioms of “spetses”, generalizing (and sometimes correcting), Toward Spetses, in Transformation groups 4, 1999, along the way. Note that to make the induction work, we must consider a of reflection cosets slightly more general than the split irreducible ones : the reflection cosets with split semi-simple part, i.e. cosets $(V,W\varphi )$ such that $V=V_1\oplus V_2$ with $W\subset {\mathrm {GL}}(V_1)$ and $\varphi |_{V_1} = {\rm Id.}$. We need also to consider some non-exceptional cosets, those associated to imprimitive complex reflection groups which appear as parabolic subgroups of the exceptional ones.

Groupes de réflexion complexes, groupes des tresses, algèbres de Hecke, groupes réductifs finis, spetses
Complex reflection groups, braid groups, Hecke algebras, finite reductive groups, spetses
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