Nous poursuivons notre analyse [Ann. Inst. Fourier 64 (2014)] de la stabilité dynamique des solitons sombres pour l'équation de Gross-Pitaevskii en dimension un. Dans cet article, nous démontrons leur stabilité asymptotique par rapport à de petites perturbations dans l'espace d'énergie. En particulier, nos résultats ne requièrent aucune condition de petitesse dans des espaces à poids, aussi bien qu'aucune hypothèse spectrale a priori. Notre stratégie s'appuie sur celle développée par Martel et Merle dans plusieurs articles au sujet des équations de Korteweg-de Vries généralisées. Notre contribution principale réside dans le fait que les équations de Korteweg-de Vries possèdent une dispersion unidirectionnelle, ce qui n'est plus le cas des équations de Schrödinger.