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Stabilité asymptotique dans l'espace d'énergie pour les solitons sombres de l'équation de Gross-Pitaevskii

Asymptotic stability in the energy space for dark solitons of the Gross-Pitaevskii equation

Fabrice Béthuel, Philippe Gravejat, Didier Smets
Stabilité asymptotique dans l'espace d'énergie pour les solitons sombres de l'équation de Gross-Pitaevskii
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  • Année : 2015
  • Tome : 48
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35Q55, 35B35, 35C08.
  • Pages : 1327-1381
  • DOI : 10.24033/asens.2271
Nous poursuivons notre analyse [Ann. Inst. Fourier 64 (2014)] de la stabilité dynamique des solitons sombres pour l'équation de Gross-Pitaevskii en dimension un. Dans cet article, nous démontrons leur stabilité asymptotique par rapport à de petites perturbations dans l'espace d'énergie. En particulier, nos résultats ne requièrent aucune condition de petitesse dans des espaces à poids, aussi bien qu'aucune hypothèse spectrale a priori. Notre stratégie s'appuie sur celle développée par Martel et Merle dans plusieurs articles au sujet des équations de Korteweg-de Vries généralisées. Notre contribution principale réside dans le fait que les équations de Korteweg-de Vries possèdent une dispersion unidirectionnelle, ce qui n'est plus le cas des équations de Schrödinger.
We pursue our work [Ann. Inst. Fourier 64 (2014)] on the dynamical stability of dark solitons for the one-dimensional Gross-Pitaevskii equation. In this paper, we prove their asymptotic stability under small perturbations in the energy space. In particular, our results do not require smallness in some weighted spaces or a priori spectral assumptions. Our strategy is reminiscent of the one used by Martel and Merle in various works regarding generalized Korteweg-de Vries equations. The important feature of our contribution is related to the fact that while Korteweg-de Vries equations possess unidirectional dispersion, Schrödinger equations do not.
Équation de Gross-Pitaevskii, soliton, stabilité asymptotique.
Gross-Pitaevskii equation, soliton, asymptotic stability.
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