SMF

Sur la caractérisation du bord d'une chaîne holomorphe dans l'espace projectif

On the characterization of the boundary of a holomorphic chain in the projective space

Tien-Cuong Dinh
Sur la caractérisation du bord d'une chaîne holomorphe dans l'espace projectif
     
                
  • Année : 1999
  • Fascicule : 4
  • Tome : 127
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 32~C~25, 32~C~16
  • Pages : 519-539
  • DOI : 10.24033/bsmf.2359
Nous démontrons qu'une sous-variété réelle, compacte, orientée et lisse $\Gamma $ de dimension $2p-1\geq 3$ de $\mathbb {CP}^n$ est le bord d'un sous-ensemble analytique s'il existe une variété réelle $V\subset \mathrm {G}(n-p+2,n+1)$ de codimension $1$ satisfaisant les conditions suivantes pour tout $\nu \in V$ : 1) la réunion des $\mathbb {P}^{n-p+1}_\nu $ pour $\nu \in V$ recouvre un ouvert dense de $\Gamma $ ; 2) le $(n-p+1)$-plan $\mathbb {P}^{n-p+1}_\nu $ intersecte $\Gamma $ transversalement ; 3) $\Gamma \cap \mathbb {P}^{n-p+1}_\nu $ est le bord d'une surface de Riemann dans $\mathbb {P}^{n-p+1}_\nu $ ; 4) aucun ouvert non vide de $\Gamma \cap \mathbb {P}^{n-p+1}_\nu $ n'est réel analytique. Pour la preuve, nous utilisons et démontrons le résultat suivant : pour toute surface de Riemann à bord rectifiable (éventuellement réductible et singulière) $S$ d'une variété complexe, $\overline S $ admet un système fondamental de voisinages de Stein. Il existe $\Gamma $ réelle algébrique vérifiant 1), 2), 3), qui n'est pas bord d'un sous-ensemble analytique.
We will prove that a real compact oriented smooth submanifold $\Gamma $ of dimension $2p-1\geq 3$ in $\mathbb {CP}^n$ is the boundary of a complex variety if there exists a real manifold $V\subset \mathrm {G}(n-p+2,n+1)$ of codimension $1$ satisfying the following conditions for every $\nu \in V$ 1) The union of $\mathbb {P}^{n-p+1}_\nu $ for $\nu \in V$ does recover a dense open set in $\Gamma $. 2) The $(n-p+1)$-plane $\mathbb {P}^{n-p+1}_\nu $ does intersect $\Gamma $ transversally. 3) $\Gamma \cap \mathbb {P}^{n-p+1}_\nu $ is the boundary of a Riemann surface in $\mathbb {P}^{n-p+1}_\nu $. 4) No nonempty open set in $\Gamma \cap \mathbb {P}^{n-p+1}_\nu $ is real analytic. For proving this, we use and we prove the following result : for every Riemann surface which has a rectifiable boundary (eventually reducible and singular) $S$ in a complex manifold, $\overline S$ does admit a fundamental system of Stein neighborhoods. There exists a real algebraic $\Gamma $ satisfying 1), 2), 3) but which is not the boundary of a complex variety.
problème du bord, conditions des moments, maximalement complexe


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