Dans cet article nous calculons explicitement la première borne de Vafa-Witten pour un tore de dimension $2$, c'est-à-dire la meilleure borne supérieure pour la première valeur propre de la famille d'opérateurs de Dirac couplés à des potentiels vectoriels arbitraires, définis sur un tore plat de dimension $2$. Pour une métrique plate arbitraire nous donnons soit la solution exacte de ce problème soit un algorithme précis pour en produire une. Une conséquence de nos résultats est une réalisation constructive de la projection du demi-plan de Poincaré sur le domaine fondamental de l'action de $\mathrm {SL}(2,\mathbf {Z})$ sur celui-ci.