Le douzième problème de Hilbert propose une façon conjecturale d'engendrer les extensions abéliennes d'un corps de nombres, en généralisant le théorème dit de Kronecker et Weber (toutes les extensions abéliennes de $\mathbb {Q}$ sont engendrées par des racines de l'unité) ainsi que les extensions des corps quadratiques imaginaires (qui sont engendrées par des valeurs de fonctions modulaires et elliptiques liées aux courbes elliptiques à multiplication complexe). La première partie de l'exposé est centrée autour de la conjecture incorrecte de Hilbert dans le cas du corps quadratique imaginaire. Elle est dicutée aussi bien du point de vue historique (pendant quatorze ans, l'autorité de Hilbert empêcha la découverte de cette erreur), que du point de vue mathématique, en analysant les interprétations algébro-géometriques des énoncés différents relatifs à ce cas et de leurs traditions. On discute ensuite des analogues en dimension supérieure. Les développements récents (motifs, etc., aussi points de Heegner) sont mentionnés à la fin.