Nous démontrons que, si $(X, A+B)$ est une paire définie sur un corps algébriquement clos de caractéristique positive telle que $(X,B)$ est fortement $F$-régulière, $A$ est ample et $K_X+A+B$ est strictement nef, alors $K_X+A+B$ est ample. De la même manière, nous prouvons que, si $(X, A+B)$ est une paire telle que $A$ est ample et $B$ est grand (« big »), alors une condition nécessaire et suffisante pour que le diviseur $K_X+A+B$ soit grand est qu'il soit nef et de dimension nef maximale. Nous utilisons ces résultats pour démontrer un théorème de rationalité pour le seuil nef, ainsi que plusieurs résultats nécessaires au programme des modèles minimaux en caractéristique positive en dimension trois.