On étudie la géométrie des applications propres équivariantes de fibrés homogènes $G\times_P V$ sur les variétés de  drapeaux  $G/P$ dans les représentations de $G$, appelées applications d'effondrement. Kempf a montré que lorsque le fibré est complètement réductible, l'image $G\cdot V$ d'une application d'effondrement a des singularités rationnelles en caractéristique zéro.  On étend ce résultat à la caractéristique positive et on montre que pour les fibrés analogues  la saturation $G\cdot V$ est fortement $F$-régulière si son anneau des coordonnées a une bonne filtration. De plus, on montre que dans ce cas les images des applications d'effondrement de fibrés homogènes restreintes aux variétés de Schubert sont $F$-rationnelles en caractéristique positive, et ont des singularités rationnelles en caractéristique zéro. On obtient des résultats sur les singularités et  les équations qui définissent les saturations $G\cdot X$ pour les sous-variétés $X\subset V$ fermées $P$-stables. On donne un critère pour l'existence de bonnes filtrations pour l'anneau des coordonnées de  $G\cdot X$.

Nos résultats fournissent une approche uniforme et indépendante de la caractéristique,  à l'étude de la géométrie de nombreuses variétés  importantes:  multicônes sur les variétés de Schubert, variétés
déterminantales dans l'espace de matrices, matrices symétriques, matrices antisymétriques et certaines variétés de Schubert  de matrices, variétés de représentations des algèbres dont le carré du radical est zéro (par ex. variétés de complexes), variétés de sous-espaces, variétés de rang supérieur, etc.