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Sur l'effondrement des fibrés homogènes en caractéristique arbitraire

On the collapsing of homogeneous bundles in arbitrary characteristic

András Cristian LŐRINCZ
Sur l'effondrement des fibrés homogènes en caractéristique arbitraire
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 5
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14M15, 14L30, 13A35, 14B05, 14M05, 20G05, 14M12
  • Pages : 1313-1337
  • DOI : 10.24033/asens.2556

On étudie la géométrie des applications propres équivariantes de fibrés homogènes $G\times_P V$ sur les variétés de  drapeaux  $G/P$ dans les représentations de $G$, appelées applications d'effondrement. Kempf a montré que lorsque le fibré est complètement réductible, l'image $G\cdot V$ d'une application d'effondrement a des singularités rationnelles en caractéristique zéro.  On étend ce résultat à la caractéristique positive et on montre que pour les fibrés analogues  la saturation $G\cdot V$ est fortement $F$-régulière si son anneau des coordonnées a une bonne filtration. De plus, on montre que dans ce cas les images des applications d'effondrement de fibrés homogènes restreintes aux variétés de Schubert sont $F$-rationnelles en caractéristique positive, et ont des singularités rationnelles en caractéristique zéro. On obtient des résultats sur les singularités et  les équations qui définissent les saturations $G\cdot X$ pour les sous-variétés $X\subset V$ fermées $P$-stables. On donne un critère pour l'existence de bonnes filtrations pour l'anneau des coordonnées de  $G\cdot X$.

Nos résultats fournissent une approche uniforme et indépendante de la caractéristique,  à l'étude de la géométrie de nombreuses variétés  importantes:  multicônes sur les variétés de Schubert, variétés
déterminantales dans l'espace de matrices, matrices symétriques, matrices antisymétriques et certaines variétés de Schubert  de matrices, variétés de représentations des algèbres dont le carré du radical est zéro (par ex. variétés de complexes), variétés de sous-espaces, variétés de rang supérieur, etc.

We study the geometry of equivariant, proper maps from homogeneous bundles $G\times_P V$ over flag varieties $G/P$ to representations of $G$, called collapsing maps. Kempf showed that, provided the bundle is completely reducible, the image $G\cdot V$ of a collapsing map has rational singularities in characteristic zero. We extend this result to positive characteristic and show that for the analogous bundles the saturation $G\cdot V$ is strongly $F$-regular if its coordinate ring has a good filtration. We further show that in this case the images of collapsing maps of homogeneous bundles restricted to Schubert varieties are $F$-rational in positive characteristic, and have rational singularities in characteristic zero. We provide results on the singularities and defining equations of saturations $G\cdot X$ for $P$-stable closed subvarieties $X\subset V$. We give criteria for the existence of good filtrations for the coordinate ring of $G\cdot X$.

Our results give a uniform, characteristic-free approach for the study of the geometry of a number of important varieties: multicones over Schubert varieties, determinantal varieties in the space of matrices, symmetric matrices, skew-symmetric matrices, and certain matrix Schubert varieties therein, representation varieties of radical square zero algebras (e.g., varieties of complexes), subspace varieties, higher rank varieties, etc.

Effondrement des fibrés, variétés de Schubert, $F$-régularité, $F$-rationalité, singularités rationnelles, bonne filtration
Collapsing of bundles, Schubert varieties, $F$-regularity, $F$-rationality, rational singularities, good filtrations

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