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Correspondance de Springer généralisée pour les algèbres de Lie $\mathbf{Z}/m$-graduées

Generalized Springer correspondence for $\mathbf{Z}/m$-graded Lie algebras

Wille LIU
Correspondance de Springer généralisée pour les algèbres de Lie $\mathbf{Z}/m$-graduées
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 5
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 20C08
  • Pages : 1449-1515
  • DOI : 10.24033/asens.2559

Soient $G$ un groupe algébrique complexe simple simplement connexe et $\mathfrak{g}_*$ une $\mathbf{Z}/m$-graduation sur $\mathfrak{g} = Lie G$. Dans une série récente d'articles, G. Lusztig et Z. Yun ont étudié la classification des faisceaux pervers simples $G_0$-équivariants sur le cône nilpotent de $\mathfrak{g}_i$ pour $i\in \mathbf{Z}/m$, où $G_0$ est l'exponentialisé de la composante de degré nul $\mathfrak{g}_0$. Ils ont établi une décomposition en blocs de la catégorie dérivée équivariante des faisceaux $\ell$-adiques sur le cône nilpotent de $\mathfrak{g}_i$; chacun des blocs est engendré par un certain système local cuspidal via les inductions spirales. Nous démontrons leur conjecture qui prédit la bijectivité d'une application de 1) l'ensemble des faisceaux pervers simples dans un bloc donné dans 2) l'ensemble des modules simples d'une algèbre de Hecke doublement affine dégénérée. Ceci est pour les algèbres de Hecke doublement affines dégénérées un résultat analogue à la correspondance de Deligne-Langlands, démontrée par Kazhdan-Lusztig et portant sur les algèbres de Hecke affines. Nos résultats généralisent ceux d'un travail d'E. Vasserot, dans lequel seuls les faisceaux pervers dans le bloc principal étaient pris en compte.

Let $G$ be a simple simply connected complex algebraic group and let $\mathfrak{g}_*$ be a $\mathbf{Z}/m$-grading on its Lie algebra $\mathfrak{g}$. In a recent series of articles, G. Lusztig and Z. Yun, studied the classification of simple $G_0$-equivariant perverse sheaves on the nilpotent cone of $\mathfrak{g}_i$ for $i\in \mathbf{Z}/m$, where $G_0$ is the exponentiation of the degree zero piece $\mathfrak{g}_0$. They proved a decomposition of the equivariant derived category of $\ell$-adic sheaves on the nilpotent cone of $\mathfrak{g}_i$ into blocks, each generated by a certain cuspidal local system via  spiral inductions. We prove a conjecture of them, which predicts the bijectivity of a map from 1) the set of simple perverse sheaves in a fixed block to 2) the set of simple modules of a block of a (trigonometric) degenerate double affine Hecke algebra (dDAHA). This is a dDAHA analogue of the Deligne-Langlands correspondence for affine Hecke algebras proven by Kazhdan-Lusztig. Our results generalize a previous work of E. Vasserot, where the perverse sheaves in the principal block were considered.

correspondance de Springer, algèbre de Hecke doublement affine
Springer correspondence, double affine Hecke algebra

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