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Produit et coproduit en topologie des cordes

Product and coproduct in string topology

Nancy HINGSTON, Nathalie WAHL
Produit et coproduit en topologie des cordes
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 5
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 55P50, 55N45
  • Pages : 1381-1447
  • DOI : 10.24033/asens.2558

Pour une variété riemannienne $M$ donnée, nous étendons le produit de Goresky-Hingston, sur la cohomologie de l'espace des lacets libres de $M$ relative aux lacets constants, en un produit non relatif. Ce produit est, comme le produit d'origine, associatif, commutatif gradué, et compatible avec la filtration de l'espace des lacets par leur longueur.  Nous prouvons la nouvelle propriété géometrique suivante pour le coproduit dual en homologie: la non-trivialité du $k$-ième itéré du coproduit d'une classe d'homologie implique l'existence d'un lacet s'intersectant lui-même avec multiplicité $(k+1)$ dans toute chaine représentant la classe d'homologie. Pour les sphères et espaces projectifs, on montre que l'implication inverse est aussi vraie: le $k$-ième itéré du coproduit s'annule précisément sur les classes d'homologie qui ont leur support dans les lacets s'intersectant eux-même avec multiplicité au plus $k$. Nous étudions les interactions entre ce produit en cohomologie et le produit mieux connu de Chas-Sullivan. Nous donnons une construction explicite des deux produits au niveau des chaines, y compris une nouvelle construction du produit de Chas-Sullivan, qui évite les technicalités des voisinages tubulaires de dimension infinie et les intersections délicates de chaines de lacets.

Let $M$ be a closed Riemannian manifold.  We extend the product of Goresky-Hingston, on the cohomology of the free loop space of $M$ relative to the constant loops, to a nonrelative product.  It is graded associative and commutative, and compatible with the length filtration on the loop space, like the original product.  We prove the following new geometric property of the dual homology coproduct:  the nonvanishing of the $k$-th iterate of the coproduct on a homology class ensures the existence of a loop with a $(k+1)$-fold self-intersection in every representative of the class. For spheres and projective spaces, we show that this is sharp, in the sense that the $k$-th iterated coproduct vanishes precisely on those classes that have support in the loops with at most $k$-fold self-intersections. We study the interactions between this cohomology product and the better-known Chas-Sullivan product. We give explicit integral chain level constructions of the loop product and coproduct, including a new construction of the Chas-Sullivan product, which avoids the technicalities of infinite dimensional tubular neighborhoods and delicate intersections of chains in loop spaces.


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