Dans cet article, nous introduisons une approche pour étudier la transformée aux rayons X géodésiques ainsi que des problèmes inverses géométriques qui lui sont rattachés en utilisant des estimations de Carleman. Le résultat principal établit que sur les variétés compactes à courbure strictement négative (resp. les variétés simples à courbure négative ou nulle, ou Anosov), le champ vectoriel géodésique satisfait une estimation de Carleman avec poids logarithmiques (resp. poids linéaires) du côté fréquentiel. En conséquence, modulo des obstructions naturelles, la transformée aux rayons X géodésiques atténuée par une connexion générale et un champ de Higgs est inversible sur les variétés à courbure strictement négative. Un point crucial de la preuve consiste à montrer que l'identité de Pestov pour le champ vectoriel géodésique se localise complètement en fréquence. Notre approche est valide en toutes dimensions $\geq 2$, sur les variétés à courbure strictement négative avec ou sans bord, et pour des champs tensoriels de tout ordre.