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Sous-ensembles de capacité maximale et marches aléatoires

Extracting subsets maximizing capacity and folding of random walks

Amine ASSELAH, Bruno SCHAPIRA
Sous-ensembles de capacité maximale et marches aléatoires
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 5
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60F05, 60G50
  • Pages : 1565-1582
  • DOI : 10.24033/asens.2561

Nous montrons que de toute partie finie de $Z^d$, en dimension trois et plus, on peut extraire un sous-ensemble dont la capacité et le volume sont du même ordre de grandeur que la capacité de la partie initiale. Cette observation nous permet d'obtenir, sous des hypothèses optimales, des estimations de la probabilité qu'une marche aléatoire recouvre uniformément un ensemble fini. Enfin, nous caractérisons certains événements de repliement de la marche. Par exemple, lorsque l'on sait qu'une marche aléatoire se replie pour produire une densité d'occupation atypiquement grande, alors la région de repliement a typiquement la forme d'une boule, au sens où sa capacité est du même ordre de grandeur que celle d'une boule.

We prove that given any finite set of $Z^d$, with $d\ge 3$, there is a subset whose capacity and volume are both of the same order as the capacity of the initial set. As an application, we obtain estimates on the probability a transient random walk  covers uniformly a finite set. Finally, we characterize some folding events, under optimal hypotheses. For instance, knowing that a random walk folds to produce an atypically high occupation density somewhere, we show that the folding region is most likely ball-like, asymptotically as the length of the walk goes to infinity.

temps locaux, capacité, marche aléatoire
Random walk, local times, capacity, range

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