Nous infirmons une conjecture de Foschi concernant les points extrémaux de l'inégalité de Strichartz à données dans l'espace de Sobolev $Ḣ^{1/2} × Ḣ^{-1/2}(R^d)$, où $d\ge 2$ est pair. En revanche, nous donnons des indications en faveur de sa conjecture en dimension impaire, ainsi qu'une version raffinée de son inégalité optimale sur $R^{1+3}$, en ajoutant un terme proportionnel à la distance des données initiales de l'ensemble des points extrémaux. Les démonstrations utilisent la compactification conforme de l'espace-temps de Minkowski donnée par la transformation de Penrose.