Nous démontrons que le calcul de l'indice de Fredholm d'un opérateur pseudodifférentiel pleinement elliptique sur une variété de Lie intégrée peut être ramené à celui de l'indice d'un opérateur de Dirac perturbé par un opérateur régularisant et canoniquement associé via l'application de serrage (clutching). Pour cela nous adaptons à notre situation des idées venant de la $K$-homologie géométrique de Baum-Douglas, en particulier nous introduisons une notion de cycles géométriques qui engendrent, dans le contexte spécifique de l'article, un analogue de la $K$-homologie géométrique bien connue. Nous définissons également une application de comparaison entre notre $K$-homologie géométrique et un groupe de $K$-théorie relative directement associé aux opérateurs pseudodifférentiels pleinement elliptiques.