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Monomialisation d'un morphisme quasi-analytique

Monomialization of a quasianalytic morphism

André BELOTTO DA SILVA, Edward BIERSTONE
Monomialisation d'un morphisme quasi-analytique
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 5
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : Primary 03C64, 14E05, 26E10, 32S45; Secondary 03C10, 14E15, 30D60, 32B20
  • Pages : 1583-1651
  • DOI : 10.24033/asens.2562

On démontre un théorème de monomialisation pour les morphismes dans une classe de fonctions quasi-analytiques. Ces classes comprennent, par exemple, les classes de Denjoy-Carleman, la classe des fonctions $C^\infty$ définissables dans une structure $o$-minimale polynomialement bornée, ainsi que les classes des fonctions analytiques réelles ou complexes, et de fonctions algébriques sur un corps de caractéristique nulle. Le théorème de monomialisation affirme qu'on peut transformer un morphisme dans une classe quasi-analytique en un autre morphisme dont les composantes sont des monômes dans des coordonnées locales convenables, par une suite de modifications de la source et du but. Dans le cas réel général, celles-ci sont des éclatements locaux et ramifications; dans le cas analytique ou algébrique, elles sont simplement des éclatements locaux. On montre qu'il n'est pas possible, en général, de monomialiser par des éclatements globaux, même dans le cas analytique réel.

We prove a monomialization theorem for mappings in general classes of infinitely differentiable functions that are called quasianalytic. Examples include Denjoy-Carleman classes, the class of $C^\infty$ functions definable in a polynomially bounded $o$-minimal structure, as well as the classes of real- or complex-analytic functions, and algebraic functions over any field of characteristic zero. The monomialization theorem asserts that a mapping in a quasianalytic class can be transformed to a mapping whose components are monomials with respect to suitable local coordinates, by sequences of simple modifications of the source and target---local blowing-ups and power substitutions in the real cases, in general, and local blowing-ups alone in the algebraic or analytic cases. Monomialization is a version of resolution of singularities for a mapping. We show that it is not possible, in general, to monomialize by global blowing-ups, even in the real-analytic case.

Monomialisation, dérivé logarithmique, Résolution des singularités, éclatement, ramification, quasianalytique, Classe de Denjoy-Carleman, structure o-minimale, élimination de quantificateur, continuation quasi-analytique, variétés analytiques et algébriques
Monomialization, logarithmic derivation, resolution of singularities, blowing-up, power substitution, quasianalytic, Denjoy-Carleman class, o-minimal structure, quantifier elimination, quasianalytic continuation, algebraic and analytic varietes

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