Sur l'équation $\bar \partial $ dans un espace de Banach
On the $\bar \partial $-equation in a Banach space
Anglais
On définit un espace de Banach séparable $X$ et on montre l'existence d'une forme $\bar \partial $ fermée du type $(0,1)$ de e $C^\infty $ sur la boule unité $B$ de $X$, qui n'est $\bar \partial $ exacte dans aucun ouvert. On montre en outre que $H^q(\Omega , \mathcal {0})=0$ pour $q\ge 1$ et $\Omega \subset X$ ouvert pseudo-convexe, par exemple, $\Omega =B$. Il s'ensuit que l'isomorphisme de Dolbeault ne se généralise pas aux espaces de Banach quelconques. On montre également que le théorème de Newlander-Nirenberg ne se généralise pas aux variétés de Banach quelconques.