SMF

Sur l'équation $\bar \partial $ dans un espace de Banach

On the $\bar \partial $-equation in a Banach space

Imre PATYI
Sur l'équation $\bar \partial $ dans un espace de Banach
     
                
  • Année : 2000
  • Fascicule : 3
  • Tome : 128
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 58~B~12, 32~C~10, 32~L~20, 32~F~20, 46~G~20
  • Pages : 391-406
  • DOI : 10.24033/bsmf.2374

On définit un espace de Banach séparable $X$ et on montre l'existence d'une forme $\bar \partial $ fermée du type $(0,1)$ de e $C^\infty $ sur la boule unité $B$ de $X$, qui n'est $\bar \partial $ exacte dans aucun ouvert. On montre en outre que $H^q(\Omega , \mathcal {0})=0$ pour $q\ge 1$ et $\Omega \subset X$ ouvert pseudo-convexe, par exemple, $\Omega =B$. Il s'ensuit que l'isomorphisme de Dolbeault ne se généralise pas aux espaces de Banach quelconques. On montre également que le théorème de Newlander-Nirenberg ne se généralise pas aux variétés de Banach quelconques.

We define a separable Banach space $X$ and prove the existence of a $\bar \partial $-closed $C^\infty $-smooth $(0, 1)$-form $f$ on the unit ball $B$ of $X$, which is not $\bar \partial $-exact on any open subset. Further, we show that the sheaf cohomology groups $H^q(\Omega , \mathcal {0})=0$, $q\ge 1$, where $\mathcal {0}$ is the sheaf of germs of holomorphic functions on $X$, and $\Omega $ is any pseudoconvex domain in $X$, e.g., $\Omega =B$. As the Dolbeault group $H^{0,1}_{\;\bar \partial }(B)\not =0$, the Dolbeault isomorphism theorem does not generalize to arbitrary Banach spaces. Lastly, we construct a $C^\infty $-smooth integrable almost complex structure on $M=B\times \mathbb {C}$ such that no open subset of $M$ is biholomorphic to an open subset of a Banach space. Hence the Newlander–Nirenberg theorem does not generalize to arbitrary Banach manifolds.

$\bar \partial $-equation, Dolbeault isomorphism, Newlander-Nirenberg theorem


Des problèmes avec le téléchargement?Des problèmes avec le téléchargement?
Informez-nous de tout problème que vous avez...