On prouve des isomorphismes entre des cycles proches $p$-adiques et des complexes syntomiques pour les fs log schémas log lisses sur un anneau de valuation discrète hensélien $p$-adique. Ceci généralise des résultats de M.Kurihara dans le cas de bonne réduction et de K.Kato dans le cas d'un corps résiduel parfait pour la réduction semi-stable. En combinant avec un résultat de C.Breuil, on obtient un théorème de comparaison entre la cohomologie étale $p$-torsion et la cohomologie log cristalline pour les familles propres et log lisses.