Soient $G$ un groupe algébrique complexe réductif et connexe, $B$ un sous-groupe de Borel de $G$ et $H$ un sous-groupe sphérique de $G$. Soit $X$ un plongement $G\times G$-équivariant de $G$. Nous savons que $B\times H$ n'a qu'un nombre fini d'orbites dans $G$ ; nous montrons qu'il n'en a qu'un nombre fini dans $X$. Soit $\overline {V}$ l'adhérence dans $X$ d'une orbite de $B\times H$ dans $G$ et $\overline {\mathcal {O}}$ l'adhérence d'une orbite de $G\times G$ dans $X$. Si $X$ est toroïdal, nous montrons que l'intersection $\overline {V}\cap \overline {\mathcal {O}}$ est propre dans $X$ et la décrivons ensemblistement. Si de plus $X$ est lisse, nous calculons les multiplicités d'intersections qui sont des puissances de $2$. Enfin, si $X$ est toroïdal, lisse et complet, nous exprimons la e de cohomologie de $\overline {V}$ comme une combination linéaire des es d'adhérence dans $X$ d'orbites de $B\times B$ dans $G$. Nous utilisons la cohomologie $B$-équivariante pour obtenir ce dernier résultat. Soit $Y$ un plongement lisse $G$-équivariant et toroïdal de $G/H$ et $\overline {\mathcal {O}}$ l'adhérence d'une orbite de $G$ dans $Y$. Soit $\overline {V}$ l'adhérence dans $Y$ d'une orbite de $B$ dans $G/H$. Dans [4], après la proposition 6, M. Brion demande si chaque composante irréductible de $\overline {V}\cap \overline {\mathcal {O}}$ contient des points lisses de $\overline {V}$ : nous répondons négativement à cette question dans la dernière partie.