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Sur les orbites d'un sous-groupe sphérique dans la variété des drapeaux

On the orbits of a spherical subgroup in the flag manifold

Nicolas Ressayre
Sur les orbites d'un sous-groupe sphérique dans la variété des drapeaux
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  • Année : 2004
  • Fascicule : 4
  • Tome : 132
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14M15, 14M17, 14C17, 55N91
  • Pages : 543-567
  • DOI : 10.24033/bsmf.2473
Soient $G$ un groupe algébrique complexe réductif et connexe, $B$ un sous-groupe de Borel de $G$ et $H$ un sous-groupe sphérique de $G$. Soit $X$ un plongement $G\times G$-équivariant de $G$. Nous savons que $B\times H$ n'a qu'un nombre fini d'orbites dans $G$ ; nous montrons qu'il n'en a qu'un nombre fini dans $X$. Soit $\overline {V}$ l'adhérence dans $X$ d'une orbite de $B\times H$ dans $G$ et $\overline {\mathcal {O}} $ l'adhérence d'une orbite de $G\times G$ dans $X$. Si $X$ est toroïdal, nous montrons que l'intersection $\overline {V}\cap \overline {\mathcal {O}} $ est propre dans $X$ et la décrivons ensemblistement. Si de plus $X$ est lisse, nous calculons les multiplicités d'intersections qui sont des puissances de $2$. Enfin, si $X$ est toroïdal, lisse et complet, nous exprimons la e de cohomologie de $\overline {V}$ comme une combination linéaire des es d'adhérence dans $X$ d'orbites de $B\times B$ dans $G$. Nous utilisons la cohomologie $B$-équivariante pour obtenir ce dernier résultat. Soit $Y$ un plongement lisse $G$-équivariant et toroïdal de $G/H$ et $\overline {\mathcal {O}} $ l'adhérence d'une orbite de $G$ dans $Y$. Soit $\overline {V}$ l'adhérence dans $Y$ d'une orbite de $B$ dans $G/H$. Dans [4], après la proposition 6, M. Brion demande si chaque composante irréductible de $\overline {V}\cap \overline {\mathcal {O}} $ contient des points lisses de $\overline {V}$ : nous répondons négativement à cette question dans la dernière partie.
Let $G$ be a complex reductive algebraic group, $B$ be a Borel subgroup of $G$ and $H$ be a spherical subgroup of $G$. Let $X$ be a $G\times G$-equivariant embedding of $G$. We know that $B\times H$ have finitely many orbits in $G$ ; we show that it has finitely many ones in $X$. Let $\overline {V}$ be the closure in $X$ of a $(B\times H)$-orbit in $G$, and $\overline {\mathcal {O}} $ be the closure of a $(G\times G)$-orbit in $X$. If $X$ is toroïdal, we show that the intersection $\overline {V}\cap \overline {\mathcal {O}} $ is proper in $X$ and we describe this intersection. If in addition $X$ is smooth, we determine the intersection multiplicities of $\overline {V}\cap \overline {\mathcal {O}} $, which are powers of $2$. If $X$ is toroïdal, smooth and complete, we write the of cohomology of $\overline {V}$ as a linear combinaison of the es of the closures in $X$ of the $(B\times B)$-orbits in $G$. The proof of this last statement uses $B$-equivariant cohomology. Let $Y$ be a smooth $G$-equivariant embedding of $G/H$ and $\overline {\mathcal {O}} $ be the closure of a $G$-orbit in $Y$. Let $\overline {V}$ be the closure in $Y$ of a $B$-orbit in $G/H$. In [4], just after Proposition 6, M. Brion asks if each irreducible component of $\overline {V}\cap \overline {\mathcal {O}} $ intersects the set of the smooth points in $\overline {V}$ : we give an example which answers ‘no' to this question.
Plongement de groupes, variétés sphériques, adhérences d'orbites, variété des drapeaux, cohomologie équivariante
Group embeddings, spherical variety, orbit closures, flag varieties, equivariant cohomology