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Cohomologie et K-théorie équivariantes des variétés de Bott-Samelson et des variétés de drapeaux

Equivariant cohomology and K-theory of Bott-Samelson varieties and flag varieties

Matthieu Willems
Cohomologie et K-théorie équivariantes des variétés de Bott-Samelson et des variétés de drapeaux
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  • Année : 2004
  • Fascicule : 4
  • Tome : 132
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 19L47, 55N91
  • Pages : 569-589
  • DOI : 10.24033/bsmf.2474
L'objet de cet article est de calculer la cohomologie et la K-théorie équivariantes des variétés de Bott-Samelson (théorèmes 3.3 et 4.3) et d'en déduire des résultats sur les variétés de drapeaux des groupes de Kac-Moody. Dans la section 3, on retrouve la formule de restriction aux points fixes de la base $\{\widehat {\xi }^{w}\}_{w\in W}$ de $H_{T}^{*}(G/B)$ (théorème 3.9) prouvée par Sara Billey dans [4]. Dans la section 4, on donne l'expression explicite de la restriction aux points fixes de la base $\{\widehat {\psi }^{w}\}_{w \in W}$ de $K_T(G/B)$ définie par Kostant et Kumar dans [13] (théorème 4.7). Dans le cas fini, cette étude nous permet également de calculer la matrice de changement de bases entre $\{\widehat {\psi }^{w}\}_{w \in W}$ et $\{*[\mathcal {O}_{\, \overline {\!X}_{w}}]\}_{w \in W}$ (théorème 4.11).
The aim of this text is to compute the equivariant cohomology and K-theory of Bott-Samelson varieties (theorem 3.3 and 4.3) and to deduce results about flag varieties of Kac-Moody groups. In section 3, we give a new proof of the formula for the restriction to fixed points of the basis $\{\widehat {\xi }^{w}\}_{w \in W}$ of $H_{T}^*(G/B)$ (theorem 3.9) proved by Sara Billey in [4]. In section 4, we give an explicit formula for the restriction to fixed points of the basis $\{\widehat {\psi }^{w}\}_{w \in W}$ of $K_T(G/B)$ defined by Kostant and Kumar in [13] (theorem 4.7). In the finite case, we describe how the basis $\{*[\mathcal {O}_{\, \overline {\!X}_{w}}]\}_{w \in W}$ transforms with respect to the basis $\{\widehat {\psi }^{w}\}_{w \in W}$ (theorem 4.11).
K-théorie, cohomologie équivariante
K-theory, equivariant cohomology