SMF

Propriétés (Q) et (C). Variété commutante

Properties $({\bf Q})$ and $({\bf C})$. Commuting variety

Jean-Yves Charbonnel
Propriétés (Q) et (C). Variété commutante
  • Année : 2004
  • Fascicule : 4
  • Tome : 132
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14A10, 14L17, 22E20, 22E46
  • Pages : 477-508
  • DOI : 10.24033/bsmf.2471
Soient $X$ une variété algébrique complexe, lisse, irréductible, $E$ et $F$ deux espaces vectoriels complexes de dimension finie et $\mu $ un morphisme de $X$ dans l'espace Lin$(E,F)$ des applications linéaires de $E$ dans $F$. Pour $x\in X$, on note $E(x)$ et $x\cdot E$ le noyau et l'image de $\mu (x)$, $\overline {\!\mu }_{x}$ le morphisme de $X$ dans Lin$(E(x),F/(x\cdot E))$ qui associe à $y$ l'application linéaire $v\mapsto \mu (y)(v)+x\cdot E$. Soit i${\mkern 1mu}_{\mu }$ la dimension minimale de $E(x)$. On dit que $\mu $ a la propriété $({\bf R})$ en $x$ si i${\mkern 3mu}_{\overline {\!\mu }_{x}}$ est inférieur à i${\mkern 1mu}_{\mu }$. Soient $F^{*}$ le dual de $F$, S$(F)$ l'algèbre symétrique de $F$, ${\mathcal I}_{\mu }$ l'idéal de ${\mathcal O}_{X}\otimes _{\mathbb C}{\rm S}(F)$ engendré par les fonctions $(x,v') \mapsto \langle {v'},{\mu (x)(v)}\rangle $ où $v$ est dans $E$ et ${\mathfrak C}_{\mu }$ la sous-variété des zéros dans $X\times F^{*}$ de ${\mathcal I}_{\mu }$. Désignant par $\sqrt {{\mathcal I}_{\mu }}$ le radical de ${\mathcal I}_{\mu }$, par $\Sigma $ le support de $\sqrt {{\mathcal I}_{\mu }}/{\mathcal I}_{\mu }$ dans $X\times F^{*}$ et par $S$ la projection de $\Sigma $ sur $X$, le premier résultat principal de ce mémoire dit que sous deux conditions techniques sur $\mu $, $S$ est une partie fermée de $X$ dont la codimension est supérieure à $2$ si et seulement si l'adhérence de l'ensemble des points de $X$ en lesquels $\mu $ n'a pas la propriété $({\bf R})$, a une codimension supérieure à $2$. Soit $\mathfrak g$ une algèbre de Lie. On dit que $\mathfrak g$ a la propriété $({\bf C})$ en l'élément $\xi $ de $\mathfrak g$ si l'application adjointe de $\mathfrak g$ dans l'espace des endomorphismes linéaires de $\mathfrak g$ a la propriété (R) en $\xi $ et que $\mathfrak g$ a la propriété $({\bf Q})$ en l'élément $v'$ de ${\mathfrak g}^{*}$ si l'application coadjointe de ${\mathfrak g}^{*}$ dans $\mathrm {Lin}({\mathfrak g},{\mathfrak g}^{*})$ a la propriété (R) en $v'$. L'algèbre $\mathfrak g$ a la propriété (Q) en $v'$ si et seulement si l'indice du stabilisateur ${\mathfrak g}(v')$ de $v'$ est égal à l'indice de $\mathfrak g$. Le deuxième résultat principal dit qu'une algèbre de Lie réductive a la propriété (Q) en tout point de ${\mathfrak g}^{*}$.
Let $X$ be a complex, smooth, irreducible algebraic variety, $E$ and $F$ be two finite dimensional complex vector spaces and $\mu $ be a morphism from $X$ to the space Lin$(E,F)$ of linear maps from $E$ to $F$. For $x$ in $X$, we denote by $E(x)$ and $x\cdot E$ the kernel and the image of $\mu (x)$, and by $\overline {\!\mu }_{x}$ the morphism from $X$ to Lin$(E(x),F/(x\cdot E))$ which associates to $y$ the linear map $v\mapsto \mu (y)(v)+x\cdot E$. Let i${\mkern 1mu}_{\mu }$ be the smallest dimension of $E(x)$. We say that $\mu $ has property $({\bf R})$ at $x$ if i${\mkern 3mu}_{\overline {\!\mu }_{x}}$ is not greater than i${\mkern 1mu}_{\mu }$. Let $F^{*}$ be the dual of $F$, S$(F)$ be the symmetric algebra of $F$, ${\mathcal I}_{\mu }$ be the ideal of ${\mathcal O}_{X}\otimes _{\mathbb C}{\rm S}(F)$ generated by the functions $(x,v') \mapsto \langle {v'},{\mu (x)(v)}\rangle $ where $v$ is in $E$ and ${\mathfrak C}_{\mu }$ be the subvariety of zeros in $X\times F^{*}$ of ${\mathcal I}_{\mu }$, $\sqrt {{\mathcal I}_{\mu }}$ be the radical of ${\mathcal I}_{\mu }$, $\Sigma $ be the support of $\sqrt {{\mathcal I}_{\mu }}/{\mathcal I}_{\mu }$ in $X\times F^{*}$ and $S$ be the projection of $\Sigma $ on $X$. The first main result says that under two technical conditions on $\mu $, $S$ is a closed subset of $X$ whose codimension is at least equal to $2$ if and only if the closure of the subset of points in $X$ at which $\mu $ has not property $({\bf R})$, has codimension at least equal to $2$. Let $\mathfrak g$ be a Lie algebra. We say that $\mathfrak g$ has the property $({\bf C})$ at the element $\xi $ of $\mathfrak g$ if the adjoint map from $\mathfrak g$ to the space of linear endomorphisms of $\mathfrak g$ has the property (R) at $\xi $ and that $\mathfrak g$ has the property $({\bf Q})$ at the element $v'$ of ${\mathfrak g}^{*}$ if the coadjoint map from ${\mathfrak g}^{*}$ to Lin$({\mathfrak g},{\mathfrak g}^{*})$ has the property (R) at $v'$. The algebra $\mathfrak g$ has the property (Q) at $v'$ if and only if the index of the stabilizer ${\mathfrak g}(v')$ of $v'$ is equal to the index of $\mathfrak g$. The second main result says that any reductive Lie algebra has property (Q) at any point of ${\mathfrak g}^{*}$.
Indice, algèbre de Lie, endomorphisme linéaire, codimension, variété algébrique
Index, Lie algebra, linear endomorphism, codimension, algebraic variety
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