SMF

Propriétés (Q) et (C). Variété commutante

Properties (Q) and (C). Commuting variety

Jean-Yves Charbonnel
Propriétés (Q) et (C). Variété commutante
     
                
  • Année : 2004
  • Fascicule : 4
  • Tome : 132
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14A10, 14L17, 22E20, 22E46
  • Pages : 477-508
  • DOI : 10.24033/bsmf.2471
Soient X une variété algébrique complexe, lisse, irréductible, E et F deux espaces vectoriels complexes de dimension finie et μ un morphisme de X dans l'espace Lin(E,F) des applications linéaires de E dans F. Pour xX, on note E(x) et xE le noyau et l'image de μ(x), ¯μx le morphisme de X dans Lin(E(x),F/(xE)) qui associe à y l'application linéaire vμ(y)(v)+xE. Soit iμ la dimension minimale de E(x). On dit que μ a la propriété (R) en x si i¯μx est inférieur à iμ. Soient F le dual de F, S(F) l'algèbre symétrique de F, Iμ l'idéal de OXCS(F) engendré par les fonctions (x,v)v,μ(x)(v)v est dans E et Cμ la sous-variété des zéros dans X×F de Iμ. Désignant par Iμ le radical de Iμ, par Σ le support de Iμ/Iμ dans X×F et par S la projection de Σ sur X, le premier résultat principal de ce mémoire dit que sous deux conditions techniques sur μ, S est une partie fermée de X dont la codimension est supérieure à 2 si et seulement si l'adhérence de l'ensemble des points de X en lesquels μ n'a pas la propriété (R), a une codimension supérieure à 2. Soit g une algèbre de Lie. On dit que g a la propriété (C) en l'élément ξ de g si l'application adjointe de g dans l'espace des endomorphismes linéaires de g a la propriété (R) en ξ et que g a la propriété (Q) en l'élément v de g si l'application coadjointe de g dans Lin(g,g) a la propriété (R) en v. L'algèbre g a la propriété (Q) en v si et seulement si l'indice du stabilisateur g(v) de v est égal à l'indice de g. Le deuxième résultat principal dit qu'une algèbre de Lie réductive a la propriété (Q) en tout point de g.
Let X be a complex, smooth, irreducible algebraic variety, E and F be two finite dimensional complex vector spaces and μ be a morphism from X to the space Lin(E,F) of linear maps from E to F. For x in X, we denote by E(x) and xE the kernel and the image of μ(x), and by ¯μx the morphism from X to Lin(E(x),F/(xE)) which associates to y the linear map vμ(y)(v)+xE. Let iμ be the smallest dimension of E(x). We say that μ has property (R) at x if i¯μx is not greater than iμ. Let F be the dual of F, S(F) be the symmetric algebra of F, Iμ be the ideal of OXCS(F) generated by the functions (x,v)v,μ(x)(v) where v is in E and Cμ be the subvariety of zeros in X×F of Iμ, Iμ be the radical of Iμ, Σ be the support of Iμ/Iμ in X×F and S be the projection of Σ on X. The first main result says that under two technical conditions on μ, S is a closed subset of X whose codimension is at least equal to 2 if and only if the closure of the subset of points in X at which μ has not property (R), has codimension at least equal to 2. Let g be a Lie algebra. We say that g has the property (C) at the element ξ of g if the adjoint map from g to the space of linear endomorphisms of g has the property (R) at ξ and that g has the property (Q) at the element v of g if the coadjoint map from g to Lin(g,g) has the property (R) at v. The algebra g has the property (Q) at v if and only if the index of the stabilizer g(v) of v is equal to the index of g. The second main result says that any reductive Lie algebra has property (Q) at any point of g.
Indice, algèbre de Lie, endomorphisme linéaire, codimension, variété algébrique
Index, Lie algebra, linear endomorphism, codimension, algebraic variety


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