Propriétés (Q) et (C). Variété commutante
Properties (Q) and (C). Commuting variety

Français
Soient X une variété algébrique complexe, lisse, irréductible, E et F deux espaces vectoriels complexes de dimension finie et μ un morphisme de X dans l'espace Lin(E,F) des applications linéaires de E dans F. Pour x∈X, on note E(x) et x⋅E le noyau et l'image de μ(x), ¯μx le morphisme de X dans Lin(E(x),F/(x⋅E)) qui associe à y l'application linéaire v↦μ(y)(v)+x⋅E. Soit iμ la dimension minimale de E(x). On dit que μ a la propriété (R) en x si i¯μx est inférieur à iμ. Soient F∗ le dual de F, S(F) l'algèbre symétrique de F, Iμ l'idéal de OX⊗CS(F) engendré par les fonctions (x,v′)↦⟨v′,μ(x)(v)⟩ où v est dans E et Cμ la sous-variété des zéros dans X×F∗ de Iμ. Désignant par √Iμ le radical de Iμ, par Σ le support de √Iμ/Iμ dans X×F∗ et par S la projection de Σ sur X, le premier résultat principal de ce mémoire dit que sous deux conditions techniques sur μ, S est une partie fermée de X dont la codimension est supérieure à 2 si et seulement si l'adhérence de l'ensemble des points de X en lesquels μ n'a pas la propriété (R), a une codimension supérieure à 2.
Soit g une algèbre de Lie. On dit que g a la propriété (C) en l'élément ξ de g si l'application adjointe de g dans l'espace des endomorphismes linéaires de g a la propriété (R) en ξ et que g a la propriété (Q) en l'élément v′ de g∗ si l'application coadjointe de g∗ dans Lin(g,g∗) a la propriété (R) en v′. L'algèbre g a la propriété (Q) en v′ si et seulement si l'indice du stabilisateur g(v′) de v′ est égal à l'indice de g. Le deuxième résultat principal dit qu'une algèbre de Lie réductive a la propriété (Q) en tout point de g∗.
Indice, algèbre de Lie, endomorphisme linéaire, codimension, variété algébrique