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Temps exceptionnels pour la percolation dynamique sous exclusion

Exceptional times for percolation under exclusion dynamics

Christophe GARBAN, Hugo VANNEUVILLE
Temps exceptionnels pour la percolation dynamique sous exclusion
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  • Année : 2019
  • Fascicule : 1
  • Tome : 52
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 82C43, 60K35, 42B05
  • Pages : 1-57
  • DOI : 10.24033/asens.2383

Cet article porte sur une version conservative du modèle de la percolation dynamique introduit par Häggström, Peres et Steif dans [10] . Le modèle se définit simplement de la façon suivante : on tire une configuration de percolation initiale $\omega(t=0)$. Puis, on fait évoluer cette configuration selon un processus d'exclusion simple de noyau symétrique $K(x,y)$.
On commence par une étude générale (en suivant[10] ) du processus $t\mapsto \omega_K(t)$ que l'on appelle percolation dynamique sous $K$-exclusion. Nous analysons ensuite de façon détaillée le cas bi-dimensionnel au point critique (à la fois pour le réseau triangulaire et pour le réseau $Z^2$) pour des noyaux en loi de puissance $K^\alpha$
\[
K^{\alpha}(x,y) \propto \frac 1 {\|x-y\|_2^{2+\alpha}}.
\]
Nous montrons que si l'exposant $\alpha>0$ est suffisamment petit,
il existe des temps exceptionnels $t$ pour lesquels une composante connexe infinie se forme dans $\omega_{K^{\alpha}}(t)$. (Pour la percolation par site sur réseau triangulaire, on montre que cela se produit pour tout $\alpha<\alpha_0= \frac {217}{816}$). L'existence de tels temps exceptionnels pour la percolation dynamique standard i.i.d. (où les sites évoluent selon des processus de Poisson indépendants) remonte au travail de Schramm-Steif [25]}. Afin de contrôler la dynamique ci-dessus du type $K$-exclusion, on approfondit l'analyse spectrale de la sensibilité au bruit sous exclusion initiée dans le travail [3]}. (Travail qui est en quelque sorte l'analogue conservatif du papier précurseur par Benjamini-Kalai-Schramm [1]} sur la sensibilité au bruit i.i.d.). Le cas du processus d'exclusion simple au plus proche voisin, correspondant au cas limite $\alpha=+\infty$, reste entièrement ouvert.

We analyze in this paper a conservative analog of the celebrated model of dynamical percolation introduced by Häggström, Peres and Steif in [10]. It is simply defined as follows: start with an initial percolation configuration $\omega(t=0)$. Let this configuration evolve in time according to a simple exclusion process with symmetric kernel $K(x,y)$. We start with a general investigation (following [10]) of this dynamical process $t\mapsto \omega_K(t)$ which we call $K$-exclusion dynamical percolation. We then proceed with a detailed analysis of the planar case at the critical point (both for the triangular grid and the square lattice $Z^2$) where we consider the power-law kernels $K^\alpha$

\[
K^{\alpha}(x,y) \propto \frac 1 {\|x-y\|_2^{2+\alpha}}.
\]

We prove that if $\alpha>0$ is chosen small enough, there exist exceptional times $t$ for which an infinite cluster appears in~$\omega_{K^{\alpha}}(t)$. (On the triangular grid, we prove that this holds for all $\alpha<\alpha_0= \frac {217}{816}$.) The existence of such exceptional times for standard i.i.d. dynamical percolation (where sites evolve according to independent Poisson point processes) goes back to the work by Schramm-Steif in [25]. In order to handle such a $K$-exclusion dynamics, we push further the spectral analysis of exclusion noise sensitivity which has been initiated in [3]. (The latter paper can be viewed as a conservative analog of the seminal paper by Benjamini-Kalai-Schramm [1] on i.i.d. noise sensitivity.)
The case of a nearest-neighbor simple exclusion process, corresponding to the limiting case $\alpha=+\infty$, is left widely open.

Percolation, percolation dynamique, processus d'exclusion simple, temps exceptionnels, sensibilité au bruit, analyse de Fourier des fonctions Booléennes
Percolation, dynamical percolation, simple exclusion process, exceptional times, noise sensitivity, Fourier analysis of Boolean functions
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