Soient $X$ une courbe lisse sur un corps parfait $k$ de caractéristique $p>0$ et $\widehat {\mathcal {D}}_{\mathcal {X}}^{(0)}\otimes \mathbb {Q}$ le faisceau des opérateurs différentiels infinis de niveau zéro sur un schéma formel lisse relevant $X$. On démontre pour de tels opérateurs des théorèmes de division ainsi que des résultats analogues à ceux de Briançon-Maisonobe dans la théorie complexe.