SMF

Transformations birationnelles de petit degré

Birational transformations of small degree

Dominique Cerveau, Julie Déserti
  • Année : 2013
  • Tome : 19
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14E07, 14E05, 37F10, 37F50
  • Nb. de pages : viii+ 223
  • ISBN : 978-2-85629-770-4
  • ISSN : 1284-6090
Depuis la fin du XIX$^e$ siècle on sait que toute transformation birationnelle du plan projectif complexe dans lui-même, encore appelée transformation de Cremona, s'écrit comme la composée de transformations birationnelles quadratiques ; ceci a motivé notre travail qui porte essentiellement sur ces transformations. Nous établissons des propriétés de type algébriques comme la ification des groupes à un paramètre de transformations de Cremona quadratiques ou encore la lissité de l'espace des transformations birationnelles de degré $2$ dans l'espace des transformations rationnelles : ceci nécessite une étude détaillée de l'action de $(\mathrm {PGL}_3(\mathbb {C}))^2$ sur cet espace. On peut aussi voir qu'un nombre fini de transformations de Cremona quadratiques choisies génériquement engendrent un groupe libre. Par ailleurs nous montrons que si $f$ est une transformation birationnelle de degré $2$ ou un automorphisme non trivial du plan projectif complexe, le sous-groupe normal engendré par $f$ est le groupe des transformations de Cremona tout entier ; nous en déduisons que ce groupe est parfait. Nous démontrons aussi des propriétés de nature dynamique : en suivant une idée de Guillot nous implantons aux transformations birationnelles de degré $2$ des invariants propres aux feuilletages ce qui nous permet par exemple d'obtenir l'énoncé suivant : si deux transformations de Cremona quadratiques génériques sont birationnellement conjuguées, elle le sont linéairement ; nous nous intéressons aussi à la présence ou non « d'objets invariants » : courbes, feuilletages, fibrations. Nous étudions aussi les transformations de Cremona cubiques ; en considérant les différentes configurations possibles de courbes contractées nous en donnons « la ification ». Ceci nous permet de montrer que l'ensemble des transformations birationnelles exactement de degré $3$ est irréductible, et en fait rationnellement connexe.
Since the end of the XIXth century, we know that each birational map of the complex projective plane is the product of a finite number of quadratic birational maps of the projective plane ; this motivates our work which essentially deals with these quadratic maps. We establish algebraic properties such as the ification of one parameter groups of quadratic birational maps or the smoothness of the set of quadratic birational maps in the set of rational maps. We prove that a finite number of generic quadratic birational maps generates a free group. We show that if $f$ is a quadratic birational map or an automorphism of the projective plane, the normal subgroup generated by $f$ is the full group of birational maps of the projective plane, which implies that this group is perfect. We study some dynamical properties : following an idea of Guillot, we translate some invariants for foliations in our context, in particular we obtain that if two generic quadratic birational maps are birationally conjugate, then they are conjugate by an automorphism of the projective plane. We are also interested in invariant objects ; curves, foliations, fibrations. We study birational maps of degree $3$ and, by considering the different possible configurations of the exceptional curves, we give the “ ification” of these maps. We can deduce from it that the set of the birational maps of degree $3$ exactly is irreducible, in fact rationally connected.
Cremona group, rational map, birational map, algebraic foliation, birational flow, dynamical degree, algebraic stability.
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