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Un $\mathbb{P}^1$-spectre représentant la cohomologie motivique sur un anneau de Dedekind

A commutative $\mathbb P ^1$-spectrum representing motivic cohomology over Dedekind domains

Markus SPITZWECK
Un $\mathbb{P}^1$-spectre représentant la cohomologie motivique sur un anneau de Dedekind
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  • Année : 2018
  • Tome : 157
  • Format : Électronique, Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14F42, 14C25, 19E20, 19E99, 14F05, 14F20, 14F30, 55P43.
  • Nb. de pages : 114
  • ISBN : 978-2-85629-890-9
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.465

Nous construisons un spectre de Eilenberg–MacLane motivique avec une multiplication hautement structurée au-dessus de schémas de base généraux qui représentent la cohomologie motivique de Levine, définie à partir des complexes de cycles de Bloch, au-dessus des schémas lisses sur des anneaux de Dedekind. Notre méthode consiste à recoller des parties $p$-complétées et rationnelles le long d'un carré arithmétique. Les spectres de coefficients finis sont ici obtenus par troncature de faisceaux étales (en s'appuyant sur la désormais démontrée conjecture de Bloch–Kato) et une variante de la version de Geisser de la cohomologie syntomique, et les spectres rationnels sont ceux qui représentent la cohomologie motivique de Beilinson. En guise d'application, les groupes de cohomologie motivique arithmétique peuvent être réalisés comme des Ext dans une catégorie triangulée de motifs à coefficients entiers. Notre spectre est compatible aux changements de base, donnant lieu à un formalisme des six foncteurs pour des catégories triangulées de faisceaux motiviques sur des schémas de base généraux incluant le triangle de localisation. D'autres applications sont une généralisation de l'isomorphisme de Hopkins–Morel et un résultat de structure pour le dual motivique de l'algèbre de Steenrod dans le cas où la caractéristique des coefficients est inversible sur le schéma de base.

We construct a motivic Eilenberg-MacLane spectrum with a highly structured multiplication over general base schemes which represents Levine's motivic cohomology, defined via Bloch's cycle complexes, over smooth schemes over Dedekind domains. Our method is by gluing $p$-completed and rational parts along an arithmetic square. Hereby the finite coefficient spectra are obtained by truncated étale sheaves (relying on the now proven Bloch-Kato conjecture) and a variant of Geisser's version of syntomic cohomology, and the rational spectra are the ones which represent Beilinson motivic cohomology. As an application the arithmetic motivic cohomology groups can be realized as Ext-groups in a triangulated category of motives with integral coefficients. Our spectrum is compatible with base change giving rise to a formalism of six functors for triangulated categories of motivic sheaves over general base schemes including the localization triangle. Further applications are a generalization of the Hopkins-Morel isomorphism and a structure result for the dual motivic Steenrod algebra in the case where the coefficient characteristic is invertible on the base scheme.

Motivic Eilenberg-MacLane spectrum, algebraic cycles, motivic six functor formalism.

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