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Une caractérisation de la correspondance de Langlands locale pour ${\rm GL}(n)$

A characterization of the local Langlands correspondence for ${\rm GL}(n)$

Guy Henniart
Une caractérisation de la correspondance de Langlands locale pour ${\rm GL}(n)$
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  • Année : 2002
  • Fascicule : 4
  • Tome : 130
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 22E50
  • Pages : 587-602
  • DOI : 10.24033/bsmf.2431
Soient $F$ un corps commutatif localement compact non archimédien et $\psi $ un caractère non trivial du groupe additif de $F$. La correspondance de Langlands locale donne, pour chaque entier $n\geq 1$, une bijection $\sigma \mapsto \pi _n(\sigma )$ de l'ensemble ${\mathcal {G}}_F(n)$ des es d'isomorphisme de représentations de dimension $n$ du groupe de Weil-Deligne de $F$ sur l'ensemble ${\mathcal {A}}_F(n)$ des es d'isomorphisme de représentations lisses irréductibles de $\mathrm {GL}_n(F)$. La bijection $\pi _1$ est donnée par la théorie locale du corps de es, et pour $\sigma \in {\mathcal {G}}_F(n)$, $\sigma '\in {\mathcal {G}}_F(n')$, on a $\begin {array}{rl} L(s,\sigma \otimes \sigma ') &=L(s,\pi _n(\sigma )\times \pi _{n'}(\sigma ')), \\ \varepsilon (s,\sigma \otimes \sigma ',\psi ) &=\varepsilon (s,\pi _n(\sigma )\times \pi _{n'}(\sigma '),\psi ). \end {array}$ Nous prouvons que ces propriétés caractérisent la famille d'applications $(\pi _n)$.
Let $F$ be a locally compact non-Archimedean field and $\psi $ a non-trivial additive character of $F$. The local Langlands correspondence gives for each positive integer $n$ a one-to-one map $\sigma \mapsto \pi _n(\sigma )$ from the set ${\mathcal {G}}_F(n)$ of isomorphism es of degree $n$ representations of the Weil-Deligne group of $F$ onto the set ${\mathcal {A}}_F(n)$ of isomorphism es of smooth irreducible representations of $\mathrm {GL}_n(F)$. Class-field theory gives the map $\pi _1$ and for $\sigma \in {\mathcal {G}}_F(n)$, $\sigma '\in {\mathcal {G}}_F(n')$, we have $\begin {array}{rl} L(s,\sigma \otimes \sigma ') &=L(s,\pi _n(\sigma )\times \pi _{n'}(\sigma ')), \\ \varepsilon (s,\sigma \otimes \sigma ',\psi ) &=\varepsilon (s,\pi _n(\sigma )\times \pi _{n'}(\sigma '),\psi ). \end {array}$ We prove that such properties characterize the family of maps $(\pi _n)$.
Corps local, correspondance de Langlands, fonction $L$, facteur $\varepsilon $
Local field, Langlands correspondence, $L$-function, $\varepsilon $-factor