SMF

Symétries de l'équation de Schrödinger non linéaire

Symmetries of the nonlinear Schrödinger equation

Benoît Grébert, Thomas Kappeler
Symétries de l'équation de Schrödinger non linéaire
  • Année : 2002
  • Fascicule : 4
  • Tome : 130
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35Q55, 37K10, 37L20, 34A55
  • Pages : 603-618
  • DOI : 10.24033/bsmf.2432
Les symétries de l'équation de Schrödinger nonlinéaire sont exprimées dans les variables action-angles et caractérisées à l'aide du spectre périodique et du spectre de Dirichlet du système de Zakharov-Shabat associé. Comme application, nous démontrons la conjecture suivante : le spectre périodique $\cdots < \lambda ^-_k \leq \lambda ^+_k < \lambda ^-_{k + 1} \leq \cdots $ de l'opérateur de Zakharov-Shabat est symétrique, i.e. $\lambda ^\pm _k = - \lambda ^\mp _{-k}$ pour tout $k$, si et seulement si la suite $(\gamma _k)_{k\in \mathbb {Z}}$ des longueurs des intervalles d'instabilité, $\gamma _k:= \lambda ^+_k - \lambda ^-_k$, est symétrique par rapport à $k=0$.
Symmetries of the defocusing nonlinear Schrödinger equation are expressed in action-angle coordinates and characterized in terms of the periodic and Dirichlet spectrum of the associated Zakharov-Shabat system. Application : proof of the conjecture that the periodic spectrum $\cdots < \lambda ^-_k \leq \lambda ^+_k < \lambda ^-_{k + 1} \leq \cdots $ of a Zakharov-Shabat operator is symmetric, i.e. $\lambda ^\pm _k = - \lambda ^\mp _{-k}$ for all $k$, if and only if the sequence $(\gamma _k)_{k\in \mathbb {Z}}$ of gap lengths, $\gamma _k:= \lambda ^+_k - \lambda ^-_k$, is symmetric with respect to $k=0$.
Équation NLS, opérateur de Zakharov-Shabat, variables action-angles, symétries
NLS equation, Zakharov-Shabat operators, action-angle variables, symmetries
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