Soit $V$ un espace vectoriel sur un corps $p$-adique $F$, soit $q$ une forme quadratique non-dégénérée sur $V$ et soit $D$ une droite non isotrope de $V$. Notons $W$ l'hyperplan orthogonal à $D$, $G$ et $H$ les groupes spéciaux orthogonaux de $V$ et $W$. Soient $\pi$, resp. $\rho$, une représentation admissible et irréductible de $G(F)$, resp. $H(F)$. La représentation $\rho$ apparaît comme quotient de la restriction de $\pi$ à $H(F)$ avec une certaine multiplicité $m(\pi,\rho)$. On sait que $m(\pi,\rho)\leq 1$. Dans un article précédent, sous l'hypothèse que $\pi$ était supercuspidale, nous avons prouvé une formule qui calculait $m(\pi,\rho)$ comme une intégrale de fonctions déduites des caractères de $\pi$ et $\rho$. Ici, nous prouvons la même formule sous l'hypothèse que $\pi$ et $\rho$ sont toutes deux tempérées. Nous imitons la preuve de la formule des traces locale d'Arthur. En supposant vérifiées les propriétés attendues des $L$-paquets, nous prouvons grâce à notre formule une version  faible de la conjecture locale de Gross-Prasad pour les $L$-paquets tempérés.