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Une réduction paradifférentielle du système des vagues de gravité-capillarité à basse régularité et applications

A Paradifferential Reduction for the Gravity-capillary Waves System at Low Regularity and Applications

Thibault de Poyferré, Quang-Huy Nguyen
Une réduction paradifférentielle du système des vagues de gravité-capillarité à basse régularité et applications
  • Année : 2017
  • Tome : 145
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35Q35, 35A01, 35B45, 35B65, 76B15.
  • Pages : 643-710
  • DOI : 10.24033/bsmf.2750
Dans cet article, nous étudions le système des vagues de gravité-capillarité en toutes dimensions, dans la formulation de Zakharov, Craig et Sulem. À l'aide d'une approche paradifférentielle introduite par Alazard, Burq et Zuily, nous symétrisons ce système en une équation dispersive quasilinéaire dont le terme principal est d'ordre $\frac {3}{2} $. La principale nouveauté par rapport aux études précédentes est que cette réduction est effectuée au niveau de régularité des EDPs quasilinéaires : $H^s(\mathbf {R} ^d)$ avec $s>\frac {3}{2} +\frac {d}{2}$, $d$ étant la dimension de la surface libre. À partir de cette réduction, nous déduisons un critère d'explosion n'impliquant que la norme Lipschitz de la trace de la vitesse et la norme $C^{\frac 52+}$ de la surface libre. En outre, nous obtenons une estimation a priori de la norme $H^s$ et la contraction de l'application solution dans la norme $H^{s-\frac {3}{2} }$, en utilisant le contrôle d'une norme de Strichartz. Ces résultats ont été utilisés pour développer une théorie de Cauchy locale pour des vitesses initiales non Lipschitz, dans le papier compagnon [?].
We consider in this article the system of gravity-capillary waves in all dimensions and under the Zakharov/Craig-Sulem formulation. Using a paradifferential approach introduced by Alazard-Burq-Zuily, we symmetrize this system into a quasilinear dispersive equation whose principal part is of order $\frac {3}{2} $. The main novelty, compared to earlier studies, is that this reduction is performed at the Sobolev regularity of quasilinear pdes : $H^s(\mathbf {R} ^d)$ with $s>\frac {3}{2} +\frac {d}{2}$, $d$ being the dimension of the free surface. From this reduction, we deduce a blow-up criterion involving solely the Lipschitz norm of the velocity trace and the $C^{\frac 52+}$-norm of the free surface. Moreover, we obtain an a priori estimate in the $H^s$-norm and the contraction of the solution map in the $H^{s-\frac {3}{2} }$-norm using the control of a Strichartz norm. These results have been applied in establishing a local well-posedness theory for non-Lipschitz initial velocity in our companion paper [?].
Vagues de gravité-capillarité, réduction paradifférentielle, critère d'explosion, estimations a priori, contraction de l'application solution.
Gravity-capillary waves, paradifferential reduction, blow-up criterion, a priori estimate, contraction of the solution map.
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