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Croissance de norme avec perte infinie de régularité pour les équations de Schrödinger périodiques en régularité négative

Norm-inflation with Infinite Loss of Regularity for Periodic NLS Equations in Negative Sobolev Spaces

Rémi Carles, Thomas Kappeler
Croissance de norme avec perte infinie de régularité pour les équations de Schrödinger périodiques en régularité négative
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  • Année : 2017
  • Tome : 145
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35Q55; 35A01, 35B30, 81Q20
  • Pages : 623-642
  • DOI : 10.24033/bsmf.2749
Nous considérons des équations de Schrödinger avec des non-linéarités d'ordre impair $2\sigma +1$ sur le tore $\mathbb {T}^d$. Nous montrons que pour $\sigma d\ge 2$, ces équations sont fortement mal posées dans l'espace de Sobolev $H^s$ pour tout $s<0$, avec en outre un phénomène de perte infinie de régularité. Dans le cas cubique mono-dimensionnel et sa version renormalisée, nous montrons le même résultat dans $H^s$, sous l'hypothèse $s<-2/3$.
In this paper we consider Schrödinger equations with nonlinearities of odd order $2\sigma +1$ on $\mathbb {T}^d$. We prove that for $\sigma d \ge 2$, they are strongly illposed in the Sobolev space $H^s$ for any $s<0$, exhibiting norm-inflation with infinite loss of regularity. In the case of the one-dimensional cubic nonlinear Schrödinger equation and its renormalized version we prove such a result for $H^s$ with $s< -2/3.$
Équation de Schrödinger non linéaire, cas périodique, caractère bien posé, perte de régularité, optique géométrique, analyse semi- ique
Nonlinear Schrödinger equation, periodic case, well-posedness, loss of regularity, geometric optics, semi- ical analysis
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