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Calcul operadique courbé

Curved operadic calculus

Victor ROCA I LUCIO
Calcul operadique courbé
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  • Année : 2024
  • Fascicule : 1
  • Tome : 152
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 18M70; 18M60, 18C35
  • Pages : 45-147
  • DOI : 10.24033/bsmf.2885

Les algèbres courbées sont une généralisation des algèbres différentielles graduées qui, récemment, ont trouvé de nombreuses applications. Le but de cet article fondateur est, tout d'abord, d'introduire la notion d'opérade courbée pour les encoder, et, ensuite, de développer le calcul opéradique à ce niveau-là. Développer le penchant algébrique du calcul opéradique donne un cadre naturel pour y effectuer des constructions universelles : grâce à la nouvelle notion de bimodule opéradique courbé, nous construisons des versions courbées des algèbres enveloppantes universelles. En revanche, dans le cas courbé, l'on perd la notion de quasi-isomorphisme, ce qui nous oblige à introduire de nouvelles méthodes pour donner un sens au penchant homotopique du calcul opéradique. À cette fin, nous introduisons la notion d'opérade courbée \textit{absolue}. Il s'agit de la notion duale de Koszul des coopérades counitaires non-nécessairement conilpotentes ; cela nous permet de construire une adjonction bar-cobar complète entre ces deux notions, et donc de munir la catégorie des opérades courbées absolues d'une structure de modèles transférée à travers cette adjonction. De plus, nous relions icelle avec l'adjonction bar-cobar classique entre opérades unitaires et coopérades courbées conilpotentes à travers une paire d'adjonctions induites par les foncteurs de dualité linéaire, et nous montrons que ces quatre adjonctions forment un carré commutatif d'adjonctions. Ce carré de dualités nous permet, par exemple, de calculer la résolution cofibrante minimale pour diverses opérades courbées absolues d'intérêt. Aussi, la construction bar complète nous permet d'énoncer un théorème de transfert homotopique pour les algèbres courbées. Finalement, remarquons que pour arriver à nos fins, il nous a fallu construire la coopérade counitaire colibre non-nécessairement conilpotente.

Curved algebras are a generalization of differential graded algebras which have found numerous applications recently. The goal of this foundational article is to introduce the notion of a curved operad, and to develop the operadic calculus at this new level. The algebraic side of the curved operadic calculus provides us with universal constructions: using a new notion of curved operadic bimodules, we construct curved universal enveloping algebras. Since there is no notion of quasi-isomorphism in the curved context, we develop the homotopy theory of curved operads using new methods. This approach leads us to introduce the new notion of a curved absolute operad, which is the notion Koszul dual to counital cooperads non-necessarily conilpotent, and we construct a complete bar-cobar adjunction between them. We endow curved absolute operads with a suitable model category structure. We establish a duality square of duality functors that intertwines this complete bar-cobar construction with the bar-cobar adjunction between unital operads and conilpotent curved cooperads. This allows us to compute minimal cofibrant resolutions for various curved absolute operads. Using the complete bar construction, we show a general homotopy transfer theorem for curved algebras. Along the way, we construct the non-necessarily conilpotent cofree cooperad.

Opérades courbées, algèbres courbées, algèbre universelle, algèbre homotopique
Curved operads, curved algebras, universal algebra, homotopical algebra

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