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Problèmes de Steinhaus et Slater en dimension supérieure via la dynamique homogène

Higher dimensional Steinhaus and Slater problems via homogeneous dynamics

Alan HAYNES & Jens MARKLOF
Problèmes de Steinhaus et Slater en dimension supérieure via la dynamique homogène
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 2
  • Tome : 53
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11J13, 60D05
  • Pages : 537-557
  • DOI : 10.24033/asens.2427

Le théorème des trois distances affirme que les intervalles entre les parties fractionnaires de $\alpha, 2\alpha, \ldots, N\alpha$ ont au plus trois longueurs distinctes. Motivés par une question de Erdős, Geelen et Simpson, nous explorons une variante en dimension supérieure, qui pose la question du nombre d'écarts entre les parties fractionnaires d'une forme linéaire. En utilisant les propriétés ergodiques de l'action diagonale sur l'espace des réseaux, nous prouvons que pour presque toutes valeurs des paramètres le nombre d'écarts distincts dans le problème en dimension supérieure est non-borné. Notre résultat améliore en particulier les travaux antérieurs de Boshernitzan, Dyson et Bleher et al. Nous discutons en outre le lien étroit avec la conjecture de Littlewood en approximation diophantienne multiplicative. Finalement, nous démontrons également comment nos méthodes peuvent être adaptées pour obtenir des résultats similaires pour les écarts entre les temps de retour de translations dans des régions contractantes sur les tores de plus grande dimension.

 

The three gap theorem, also known as the Steinhaus conjecture or three distance theorem, states that the gaps in the fractional parts of $\alpha,2\alpha,\ldots, N\alpha$ take at most three distinct values. Motivated by a question of Erdős, Geelen and Simpson, we explore a higher-dimensional variant, which asks for the number of gaps between the fractional parts of a linear form. Using the ergodic properties of the diagonal action on the space of lattices, we prove that for almost all parameter values the number of distinct gaps in the higher dimensional problem is unbounded. Our results in particular improve earlier work by Boshernitzan, Dyson and Bleher et al. We furthermore discuss a close link with the Littlewood conjecture in multiplicative Diophantine approximation. Finally, we also demonstrate how our methods can be adapted to obtain similar results for gaps between return times of translations to shrinking regions on higher dimensional tori.

Problème de Steinhaus, problème de Slater, théorème des trois distances, dynamique homogène, conjecture de Littlewood
Steinhaus problem, Slater problem, three gap theorem, homogeneous dynamics, Littlewood conjecture
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