Nous étudions le flot horocyclique sur la strate de différentielles abéliennes $\mathcal{H}(2)$. Nous montrons qu'il existe une suite de mesures ergodiques du flot horocyclique, chacune supportée sur une orbite  périodique horocylique, qui converge faiblement vers une mesure invariante, mais pas ergodique, par $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$. En conséquence, nous montrons qu'il existe des points dans $\mathcal{H}(2)$ dont les orbites du flot horocyclique ne sont équidistribuées vers aucune mesure invariante.