Les propriétés de positivité du faisceau canonique relatif correspondant à un espace fibré ont fait l'objet de beaucoup de recherches en géométrie algébrique (à commencer par les travaux de Ph. Griffiths), ainsi qu'en analyse complexe (cf. M. Suzuki, H. Yamaguchi). Il y a quelques années, B. Berndtsson a obtenu un théorème de positivité très général qui unifie les résultats précédents, en utilisant les méthodes $L^2$ combinées avec la théorie de Hodge standard. Le but de notre exposé est de présenter son résultat principal, ainsi que les nombreuses applications qui en ont été déduites entre-temps.