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Les opérateurs différentiels chiraux via la quantification du modèle sigma holomorphe

Chiral differential operators via quantization of the holomorphic $ \sigma$-model

Vassily GORBOUNOV, Owen GWILLIAM, Brian R. WILLIAMS
Les opérateurs différentiels chiraux via la quantification du modèle sigma holomorphe
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  • Année : 2020
  • Tome : 419
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 81T15, 81T40, 81T70, 17B69, 55N34
  • Nb. de pages : viii+210
  • ISBN : 978-2-85629-920-3
  • ISSN : 0303-1179 (print), 2492-5926 (electronic)
  • DOI : 10.24033/ast.1121

Le système bêta gamma incurvé est un modèle sigma nonlinéaire de source une surface de Riemann et de cible une variété complexe $X$. Ses solutions classiques sont données par des cartes holomorphes de la surface de Riemann dans $X$. Les arguments physiques identifient son algèbre d'opérateurs avec une algèbre vertex connue sous le nom d'opérateurs différentiels chiraux (CDO) de $X$. Nous vérifions ces affirmations de manière mathématique en construisant et en quantifiant rigoureusement ce système en utilisant sur les techniques développées par Kevin Costello et le second auteur, combinant à la fois les outils de la renormalisation, le formalisme de Batalin-Vilkovisky, et les algèbres à factorisation. En outre, nous prouvons que l'algèbre à factorisation des observables quantiques du système bêta gamma courbé encode les gerbes d'opérateurs différentiels chiraux. En un sens, notre approche fournit une quantification par déformation pour les algèbres de vertex. Comme dans de nombreuses approches à la quantification par déformations, la géométrie formelle de Gelfand-Kazhdan joue un rôle clé. Nous commençons par construire une quantification du système bêta gamma à valeur un disque formel de dimension n. Il existe une obstruction à l'existence d'une quantification qui soit équivariante par rapport à l'action des champs de vecteurs formels sur le disque ; cette obstruction s'identifie naturellement à la première classe de Pontryagin de la cohomologie de Gelfand-Fuks. Toute trivialisation du cocycle d'obstruction donne ainsi une quantification équivariante vis-à-vis d'une extension de champs de vecteurs formels par les 2-formes fermées sur le disque. D'après les résultats cité ci-dessus, nous en déduisons naturellement une algèbre à factorisation d'observables quantiques, à laquelle est associée une algèbre de vertex qui s'identifie à l'algèbre vertex formelle de type beta gamma. Par ailleurs, nous introduisons une version de la géométrie formelle de Gelfand-Kazhdan adaptée aux algèbres à factorisation et nous vérifions que, pour une variété complexe munie d'une trivialisation de sa première classe de Pontryagin, l'algèbre à factorisation associée décrit l'algèbre vertex.

The curved $\beta\gamma$ system is a nonlinear $\sigma$-model with a Riemann surface as the source and a complex manifold $X$ as the target. Its classical solutions pick out the holomorphic maps from the Riemann surface into $X$. Physical arguments identify its algebra of operators with a vertex algebra known as the chiral differential operators (CDO) of $X$. We verify these claims mathematically by constructing and quantizing rigorously this system using machinery developed by Kevin Costello and the second author, which combine renormalization, the Batalin-Vilkovisky formalism, and factorization algebras. Furthermore, we find that the factorization algebra of quantum observables of the curved $\beta\gamma$ system encodes the sheaf of chiral differential operators. In this sense our approach provides deformation quantization for vertex algebras. As in many approaches to deformation quantization, a key role is played by Gelfand-Kazhdan formal geometry. We begin by constructing a quantization of the $\beta\gamma$ system with an $n$\yh-dimensional formal disk as the target. There is an obstruction to quantizing equivariantly with respect to the action of formal vector fields $W_n$ on the target disk, and it is naturally identified with the first Pontryagin class in Gelfand-Fuks cohomology. Any trivialization of the obstruction cocycle thus yields an equivariant quantization with respect to an extension of $W_n$ by $\hat{\Omega}^2_{\mathrm{cl}}$, the closed 2-forms on the disk. By machinery mentioned above, we then naturally obtain a factorization algebra of quantum observables, which has an associated vertex algebra easily identified with the formal $\beta\gamma$ vertex algebra. Next, we introduce a version of Gelfand-Kazhdan formal geometry suitable for factorization algebras, and we verify that for a complex manifold $X$ with trivialized first Pontryagin class, the associated factorization algebra recovers the vertex algebra of CDOs of $X$.

Théorie quantiques des champs, algèbre vertex, théorie conforme des champs, géométrie formelle, algèbre factorisation, anomalies, genres Witten, formalisme Batalin-Vilkovisky
Quantum field theory, vertex algebras, conformal field theory, formal geometry, factorization algebras, anomalies, Witten genus, Batalin-Vilkovisky formalism
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