Dans ce travail, nous introduisons une notion d' entropie à l'infini pour les flots géodésiques des variétés à courbure négative. Nous introduisons la classe des variétés, dites fortement positivement récurrentes (SPR), dont l'entropie à l'infini est strictement inférieure à l'entropie topologique. Nous donnons de nombreux exemples de telles variétés. Nous montrons que d'un point de vue dynamique, ces variétés ressemblent à des variétés compactes. En particulier, elles admettent une mesure finie maximisant l'entropie.

À l'aide du point de vue des courants à l'infini, nous montrons que sur ces variétés SPR, l'entropie topologique varie de manière $\mathcal C^1$ le long de perturbations $\mathcal C^1$-uniformes de la métrique. Ceci généralise des résultats passés de   Katok (1982) et Katok-Knieper-Weiss (1991) dans le cas compact.