SMF

Formes normales analytiques et problèmes inverses pour les déploiements de col-nœuds avec variété centre analytique en dimension $2$

Analytic Normal forms and inverse problems for unfoldings of 2-dimensional saddle-nodes with analytic center manifold

Christiane ROUSSEAU & Loïc TEYSSIER
Formes normales analytiques et problèmes inverses pour les déploiements de col-nœuds avec variété centre analytique
en dimension $2$
  • Consulter un extrait
  • Année : 2021
  • Fascicule : 1
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 34A26, 34C20, 34C23, 34M35, 37G10, 37L10
  • Pages : 133-233
  • DOI : 10.24033/asens.2457

Nous donnons des formes normales pour les familles génériques $\left(Z_{\varepsilon}\right)_{\varepsilon}$ à $k$ paramètres de germes de champs de vecteurs holomorphes au voisinage de $0\in\mathbb{C}^{2}$, et déployant une singularité $Z_{0}$ de type col-nœud, sous la condition qu'il existe une famille de courbes analytiques invariantes déployant la séparatrice faible de $Z_{0}$. Ces formes normales donnent un espace de modules pour ces familles génériques. Dans notre article de 2008, nous avions donné un module de classification pour ces familles génériques, lequel consistait en un déploiement du module de Martinet-Ramis, mais la partie réalisation était manquante. Dans cet article, nous donnons la réalisation dans ce cas spécial, et nous montrons l'équivalence entre les deux présentations de l'espace des modules. Finalement, nous caractérisons complètement les familles dont le module dépend analytiquement des paramètres. Nous donnons une application du résultat en théorie de Galois paramétrique non linéaire.

We give normal forms for generic $k$-dimensional parametric families $\left(Z_{\varepsilon}\right)_{\varepsilon}$ of germs of holomorphic vector fields near $0\in C^{2}$ unfolding a saddle-node singularity $ Z_{0}$, under the condition that there exists a family of invariant analytic curves unfolding the weak separatrix of $Z_{0}$. These normal forms provide a moduli space for these parametric families. In our former 2008 paper, a modulus of a family was given as the unfolding of the Martinet-Ramis modulus, but the realization part was missing. We solve the realization problem in that partial case and show the equivalence between the two presentations of the moduli space. Finally, we completely characterize the families which have a modulus depending analytically on the parameter. We provide an application of the result in the field of non-linear, parameterized differential Galois theory.

Formes normales, champs de vecteurs holomorphes, bifurcation de col-nœud, déploiement de singularités, espace de modules, conjugaison analytique
Normal forms, holomorphic vector fields, saddle-node bifurcation, unfolding of singularities, modulus space, analytic conjugacy
Prix Électronique
Adhérent 14 €
Non-Adhérent 20 €
Quantité
- +