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Courants géodésiques, entropie à l'infini et régularité de l'entropie

Regularity of entropy, geodesic currents and entropy at infinity

Barbara SCHAPIRA & Samuel TAPIE
Courants géodésiques, entropie à l'infini et régularité de l'entropie
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 1
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37A10, 37A35, 37A40, 37B40, 37D35,37D40
  • Pages : 1-68
  • DOI : 10.24033/asens.2455

Dans ce travail, nous introduisons une notion d' entropie à l'infini pour les flots géodésiques des variétés à courbure négative. Nous introduisons la classe des variétés, dites fortement positivement récurrentes (SPR), dont l'entropie à l'infini est strictement inférieure à l'entropie topologique. Nous donnons de nombreux exemples de telles variétés. Nous montrons que d'un point de vue dynamique, ces variétés ressemblent à des variétés compactes. En particulier, elles admettent une mesure finie maximisant l'entropie.

À l'aide du point de vue des courants à l'infini, nous montrons que sur ces variétés SPR, l'entropie topologique varie de manière $\mathcal C^1$ le long de perturbations $\mathcal C^1$-uniformes de la métrique. Ceci généralise des résultats passés de   Katok (1982) et Katok-Knieper-Weiss (1991) dans le cas compact.

In this work, we introduce a notion of entropy at infinity for the geodesic flow of negatively curved manifolds. We introduce the class of   noncompact manifolds  which admit a critical gap between entropy at infinity and topological entropy.We call them strongly positively recurrent manifolds (SPR), and provide many examples. We show that dynamically, they behave as compact manifolds. In particular, they admit a finite measure of maximal entropy.

Using the point of view of currents at infinity, we show that on these SPR manifolds the topological entropy of the geodesic flow varies in a $\mathcal C^1$-way along $\mathcal C^1$-uniform perturbations of the metric. This result generalizes former work of Katok (1982) and Katok-Knieper-Weiss (1991) in the compact case.

Entropie, flot géodésique, dynamique non-compacte, courbure négative, courants géodésiques, trou critique, fortement positivement récurrent, variation de métriques
Entropy, geodesic flow, noncompact dynamics, negative curvature, geodesic currents, entropy gap, strongly positive recurrent, variation of metrics
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