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Une estimée optimale de type Freiman pour la demi-somme d'ensembles dans $R^2$ et $R^3$

A sharp Freiman type estimate for semisums in two and three dimensional Euclidean spaces

Alessio FIGALLI & David JERISON
Une estimée optimale de type Freiman pour la demi-somme d'ensembles dans $R^2$ et $R^3$
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 1
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 52A40, 11P70,52A20
  • Pages : 235-257
  • DOI : 10.24033/asens.2458

Le théorème de Freiman est un résultat classique de la combinatoire additive concernant la structure approximative des ensembles d'entiers qui contiennent une forte proportion de leurs sommes internes. En conséquence, on déduit l'estimée suivante : "Si $A\subset R$ et $\left|\frac12(A+A)\right|-|A|\ll |A|$, alors $A$ est proche de son enveloppe convexe.'' Dans cet article, nous prouvons une forme optimale du résultat  correspondant en dimensions 2 et 3.

Freiman's theorem is a classical result in additive combinatorics concerning the approximate structure of sets of integers that contain a high proportion of their internal sums.  As a consequence, one can deduce an estimate for sets of real numbers: "If $A\subset R$ and $\left|\frac12(A+A)\right|-|A|\ll |A|$, then $A$ is close to its convex hull.'' In this paper we prove a sharp form of the analogous result in dimensions 2 and 3.

Théorème de Freiman, demi-somme, convexité, stabilité quantitative optimale
Freiman Theorem, semisum, convexity, sharp quantitative stability
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