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Asymptotique des représentations quantiques des groupes de surface

Asymptotics of quantum representations of surface groups

Julien MARCHÉ & Ramanujan SANTHAROUBANE
Asymptotique des représentations quantiques des groupes de surface
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 5
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 57K16, 57K31
  • Pages : 1275-1296
  • DOI : 10.24033/asens.2481

Pour un entrelacs en bande $L$ dans le produit d'une surface par un cercle, les invariants de Witten-Reshetikhin-Turaev sont des invariants topologiques dépendant d'une suite de racines $2p$-ièmes de l'unité $(A_p)_{p\in 2\mathbb{N}}$. Nous montrons qu'il existe un polynôme $P_L$ tel que ces invariants normalisés convergent vers $P_L(u)$ quand $A_p$ tend vers $u$, sauf pour un nombre fini de $u$ dans $S^1$. Ceci est relié à la conjecture AMU qui prédit que les courbes non simples sont d'ordre infini dans la représentation quantique (en niveau assez grand). En estimant le degré de $P_L$, on exhibe certaines courbes qui satisfont la conjecture. En chemin, nous prouvons la conjecture asymptotique de Witten pour les entrelacs dans le produit d'une surface par un cercle.

For a banded link $L$ in a surface times a circle, the Witten-Reshetikhin-Turaev invariants are topological invariants depending on a sequence of complex $2p$-th roots of unity $(A_p)_{p\in 2N}$. We show that there exists a polynomial $P_L$ such that these normalized invariants converge to $P_L(u)$ when $A_p$ converges to $u$, for all but a finite number of $u$'s in $S^1$. This is related to the AMU conjecture which predicts that non-simple curves have infinite order under quantum representations (for big enough levels). Estimating the degree of $P_L$, we exhibit particular types of curves which satisfy this conjecture. Along the way we prove the Witten asymptotic conjecture for links in a surface times a circle.

Théorie quantique des champs topologique, conjecture de l'asymptotique de Witten, module d'écheveaux
Topological quantum field theory, Witten asymptotic conjecture, skein module

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