Pour $p,q\in [1,\infty)$, nous étudions le problème d'isomorphisme pour les algèbres de convolution $L^p$ et $L^q$ associées à un groupe localement compact. S'il est bien connu qu'on ne peut en général pas retrouver le groupe à partir de son algèbre de von Neumann, nous montrons que c'est le cas pour les algèbres ${CV}_p(G)$ de $p$-convoluteurs et ${PM}_p(G)$ de $p$-pseudomesures, pour $p ≠ 2$. Plus généralement, nous montrons que si ${CV}_p(G)$ est isométriquement isomorphe à ${CV}_q(H)$ avec $p,q ≠ 2$, alors $G$ est nécessairement isomorphe à $H$ et $p$ et $q$ sont égaux ou conjugués. Cela implique qu'il n'y a pas de version $L^p$ de l'unicité, due à Connes, du facteur II$_1$ hyperfini. Ces résultats s'appliquent aussi aux algèbres ${PF}_p(G)$ de $p$-pseudofunctions, et généralisent un résultat classique de Wendel. Nous montrons également que d'autres résultats de rigidité $L^p$ pour les groupes peuvent être retrouvés et étendus à l'aide de notre résultat principal.

Nos travaux répondent à des questions initialement posées dans les travaux de Herz dans les années 1970. De plus, nos méthodes révèlent de nouvelles informations sur les algèbres de Banach en question. Comme application non triviale, nous vérifions la conjecture de réflexivité pour toutes les algèbres de Banach situées entre ${PF}_p(G)$ et ${CV}_p(G)$: si une telle algèbre est réflexive et moyennable, alors $G$ est fini.