Nous définissons une classe générale de systèmes aléatoires de lignes brisées pondérées, horizontales et verticales, dans le quart de plan pour lesquels nous prouvons qu'il existe des lois invariantes par translation. Cette invariance découle d'une propriété de réversibilité du modèle. Cette classe de systèmes généralise plusieurs processus classiques du même type, comme les processus de lignes brisées d'Hammersley apparaissant en percolation de dernier passage, ou bien comme le modèle à six-vertex pour des valeurs spécifiques de paramètres. La nouveauté du papier vient de l'introduction d'un poids associé à chaque ligne. Les lignes sont intialement distribuées suivant un processus poncuel de Poisson pondéré et spatialement homogène, et leur évolution (virage, division, croisement) est décrite par une dynamique markovienne pour laquelle le poids des lignes satisfait la loi des noeuds de Kirchhoff à chaque intersection. Entre autres, nous obtenons de nouvelles mesures invariantes explicites pour des modèles ballistiques ainsi que de nouvelles propriétés de réversibilité pour des modèles à six-vertex avec champ électromagnétique externe.