Pour une donnée initiale  $f \in L^2(\mathbf{R}^n)$, considérons l'équation de  Schrödinger linéaire $$\left\{\begin{array} i u_t - \Delta_x u = 0,\\ \quad u(x,0) = f(x)\end{array}\right.\qquad (x,t) \in \mathbf{R}^n \times \mathbf{R}.$$

En 1980, Carleson demande quelles  conditions supplémentaires sur $f$ garantissent $$\lim_{t \to 0} u(x,t) = f(x) \qquad \text{pour presque tout } x \in \mathbf{R}^n\quad(\star).$$

Plus précisément, quelle est l'indice de régularité Sobolev minimal $s$ tel que ($\star$) ait lieu pour tout $f \in H^s(\mathbf{R}^n)$?

Alors que le cas de $n=1$ était entièrement compris au début des années 1980, la situation est beaucoup plus nuancée en dimension supérieure. Néanmoins, une série récente de développements spectaculaires a permis de résoudre presque complètement le problème. Tout d'abord, Bourgain en 2016 a produit un contre-exemple subtil démontrant que la convergence ponctuelle peut échouer pour certains $f \in H^s(\mathbf{R}^n)$ avec $s < \tfrac{n}{2(n+1)}$. En complément, la convergence a ensuite été démontrée pour $s > \tfrac{n}{2(n+1)}$ lorsque $n=2$ dans un article marquant de Du, Guth et Li (2017) et plus tard en toute dimension dans un travail tout aussi important de Du et Zhang en 2019.

Ce séminaire explorera ce résultat positif de Du et Zhang de 2019. L'argument combine des mécanismes modernes sophistiqués de l'analyse harmonique tels que les estimées multilinéaires de Strichartz de Bennett, Carbery et Tao (2006) et la théorie de découplage $\ell^2$ de Bourgain et Demeter (2015). Cependant, une série de principes directeurs élémentaires, enracinés dans l'analyse de Fourier, qui régissent le comportement des solutions de l'équation de Schrödinger, sont tout aussi importants. L'exposé se concentrera sur ces principes de l'analyse de Fourier, en développant l'intuition et en présentant une boîte à outils puissante pour aborder les problèmes des EDP modernes et de l'analyse harmonique.