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Extensions centrales de groupes préordonnés

Central extensions of preordered groups

Marino GRAN, Aline MICHEL
Extensions centrales de groupes préordonnés
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 4
  • Tome : 151
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 18E50; 06F15, 18A40, 18C40, 18E08
  • Pages : 659-686
  • DOI : 10.24033/bsmf.2881

Nous prouvons que la catégorie des groupes préordonnés contient deux sous-catégories pleines réflexives qui donnent lieu à certaines théories de Galois intéressantes. La première est la catégorie des objets commutatifs, qui sont précisément les groupes préordonnés dont la loi de groupe est commutative. La seconde est la catégorie des objets abéliens, qui s'avère être la catégorie des monomorphismes dans la catégorie des groupes abéliens. Nous donnons une description précise du réflecteur vers cette sous-catégorie, et nous prouvons qu'il induit une structure galoisienne admissible et donc une notion naturelle d'extension centrale catégorique. Nous caractérisons ensuite les extensions centrales de groupes préordonnés en termes purement algébriques : on montre qu'elles sont données par les extensions centrales de groupes ayant la propriété additionnelle que leur restriction aux cônes positifs est une surjection spéciale de Schreier de monoïdes.

We prove that the category of preordered groups contains two full reflective subcategories that give rise to some interesting Galois theories. The first one is the category of so-called commutative objects, which are precisely the preordered groups whose group law is commutative. The second one is the category of abelian objects, which turns out to be the category of monomorphisms in the category of abelian groups. We give a precise description of the reflector to this subcategory and we prove that it induces an admissible Galois structure and then a natural notion of categorical central extension. We then characterize the central extensions of preordered groups in purely algebraic terms; these are shown to be the central extensions of groups having the additional property that their restriction to positive cones is a special Schreier surjection of monoids.

Groupes préordonnés, groupes abéliens préordonnés, théorie catégorique de Galois, objet abélien, objet commutatif, extension centrale, surjection spéciale homogène, surjection spéciale de Schreier
Preordered groups, preordered abelian groups, categorical Galois theory, abelian object, commutative object, central extension, special homogeneous surjection, special Schreier surjection

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