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Les classes Chern motiviques de cellules Schubert, l'algèbre de Hecke et applications au problème de Casselman

Motivic Chern classes of Schubert cells, Hecke algebras, and applications to Casselman's problem

Paolo ALUFFI, Leonardo C. MIHALCEA, Jörg SCHÜRMANN, Changjian SU
Les classes Chern motiviques de cellules Schubert, l'algèbre de Hecke et applications au problème de Casselman
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  • Année : 2024
  • Fascicule : 1
  • Tome : 57
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14C17, 20C08, 14M15; 17B10, 14N15, 33D80
  • Pages : 87-141
  • DOI : 10.24033/asens.2571

Les classes de Chern motiviques sont des éléments de la $K$-théorie d'une variété algébrique $X$, qui dépendent d'un paramètre supplémentaire $y$. Elles sont déterminées par la fonctorialité et une propriété de normalisation pour $X$ lisse. Dans cet article, nous calculons les classes de Chern motiviques des cellules de Schubert dans la $K$-théorie (équivariante) des variétés de drapeaux $G/B$. Nous montrons que la classe motivique d'une cellule de Schubert est déterminée récursivement grâce aux opérateurs de Demazure-Lusztig de l'algèbre de Hecke du groupe de Weyl de $G$, à partir de la classe d'un point. Nous conjecturons que les classes obtenues satisfont une propriété de positivité.  Nous utilisons nos récurrences pour obtenir une nouvelle preuve du fait que les classes sont équivalentes à certaines enveloppes stables définies récemment en $K$-théorie par Okounkov et ses collaborateurs, retrouvant ainsi un résultat de Fehér, Rimányi, et Weber. L'action de l'algèbre de Hecke sur la $K$-théorie de la variété de drapeaux du dual de Langlands coïncide avec l'action de Hecke sur les invariants d'Iwahori de la représentation par série principale associée à un caractère non ramifié pour un groupe sur un corps local non archimédien.  Cela induit une correspondance identifiant les duaux des classes de Chern motiviques à la base standard du module des invariants d'Iwahori, et la base des points fixes à la base de Casselman. Nous appliquons ce résultat pour démontrer deux conjectures dues à Bump, Nakasuji et Naruse concernant les factorisations et les propriétés d'holomorphie des coefficients de la matrice de transition entre la base standard et la base de Casselman.

Motivic Chern classes are elements in the $K$-theory of an algebraic variety $X$, depending on an extra parameter $y$. They are determined by functoriality and a normalization property for smooth $X$. In this paper we calculate the motivic Chern classes of Schubert cells in the (equivariant) $K$-theory of flag manifolds $G/B$. We show that the motivic class of a Schubert cell is determined recursively by the Demazure-Lusztig operators in the Hecke algebra of the Weyl group of $G$, starting from the class of a point. The resulting classes are conjectured to satisfy a positivity property. We use the recursions to give a new proof that they are equivalent to certain $K$-theoretic stable envelopes recently defined by Okounkov and collaborators, thus recovering results of Fehér, Rimányi and Weber. The Hecke algebra action on the $K$-theory of the Langlands dual flag manifold matches the Hecke action on the Iwahori invariants of the principal series representation associated to an unramified character for a group over a nonarchimedean local field. This gives a correspondence identifying the duals of the motivic Chern classes to the standard basis in the Iwahori invariants, and the fixed point basis to Casselman's basis. We apply this correspondence to prove two conjectures of Bump, Nakasuji and Naruse concerning factorizations and holomorphy properties of the coefficients in the transition matrix between the standard and the Casselman's basis.

Classes de Chern motiviques, cellules de Schubert, enveloppes stables, l'algèbre de Hecke, problème de Casselman, représentation par série principale
Motivic Chern class, Schubert cells, stable envelopes, Hecke algebra, Casselman's problem, principal series representation

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