Les travaux de Wiles sur le théorème de Fermat ont mis en évidence la puissance des méthodes $p$-adiques pour prouver l'existence de prolongements analytiques de fonctions $\zeta$ et $L$ complexes. Ces méthodes se sont considérablement sophistiquées et ont débouché, ces dernières années, sur une moisson de beaux résultats : conjecture de Hasse-Weil pour les courbes de genre $2$, holomorphie des fonctions $L$ des puissances symétriques de formes modulaires, etc. Nous présenterons certaines de ces avancées.